离心率材料（2）探究圆锥曲线中离心率的问题

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1、探究圆锥曲线中离心率的问题离心率是圆锥曲线屮的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现，下面给同学们介绍常用的四种解法。一、直接求出a、b、c之二，求解e已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=-来求解。a已知a>b易求时，可利用e=—求椭圆离心率；用J1+T（其中k为渐近线的斜率）求双曲线离心率。近线分别相交于点B、C,例1•过双曲线C：x2-^T=l（b>0）的左顶点A作斜率为1的直线/,若/与双曲线M的两条渐b_JzLlABI=IBCI,则双Illi线M的离心率是（）B.分析：这里的3=1,C=Vb2+l,故关键是求II!b2,即可利用定义求解。解：易知A（・l,0）,

2、则直线/的方程为y=x+lo直线与两条渐近线y=-bx和y=bx的交点分别为B（-一，丄）、C（丄，上），又IABITBCI,可解得b?=9,贝丘=価故有e=£=廊，b+lb+lb-lb-la从而选Ao2.已知双］

3、

4、

5、线茸一4=l（a>0,b>0）的一条渐近线方程为y=，则双

6、11

7、线的离心率为a2b23D1分析：本题已硝岭不能直接求出a、c可用整体代入套用公式。解：由《=£如+夕aJ1+，（其中k为渐近线的斜率）。这里r则吩彳+（$弓从而选a。二、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称笫二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比,特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问

8、题。例3・在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为血，焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为（）A.V2解：山过焦点H垂直于长轴的弦乂称为通径，设焦点为F,则MF丄x轴，知IMFI是通径的一半,则^

9、MFI=—o由圆锥Illi线统一定义，得离心率e=^=—,从而选B。2d2三、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、cZ间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值，这也是常用的一种方法。例4.己知耳、F?是双曲线•-£=l(a>0,b>0)的两焦点，以线段FR为边作正4MF,F2,若〜a~b~「边MF

10、的中点在双曲线上，则双曲

11、线的离心率是()A.4+2巧B.V3-1C.-D.V3+12解：如图，设IOF,l=c,MFj的中点为P,则点P的横坐标为C1一—，ililPFjh-IF.^^c,山焦半径公式IPF,l=-exp-a,g

12、Jc=--x(--)-a,^-c2-2a2-2ac=0,e2-2e-2=0,a2解得c=1+V3,e=1-V3(舍去),故选Do【练一练】设椭圆的两个焦点分别为F】、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若4F]PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(D)A.返2B.近_C.2V2D.V212解：由"厂=—=2cn一L=2aca化为齐次式孑+2e-1=0=>e=a/2-

13、1【高考试题分析】1.(2009全国卷I)设双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x24-1相切，则该双曲线的离心率等于(C)(C)V5(D)V6(A)V3(B)2解：渐进线的斜率与抛物线切线的斜率相等。设切点戶(忑,儿)，则切线的斜率为yU(=2x0.由题意有-^=2x0又儿=兀。2+1%，解得：V=l,/.-=2^=Jl+(-)2=V5.avci由题双曲线计一右=l(d>o,b>0)的一条渐近线方程为y=牛,代入抛物线方程整理得ax2-bx^a=0,因渐近线与抛物线相切，所以b2-4a2=0f即c2=5a2e=^5f222.（2009浙江理）过双Illi线二-■=l

14、（a>0,b>0）的右顶点A作斜率为一1的直线，该直线与双xlr—1—曲线的两条渐近线的交点分别为5C.若仙飞眈，则双曲线的离心率是（A.a/2B.V3c.V5D.Vio答案：c【解析】对于A（d,O）,则直线方程为x^y-a=O,直线与两渐近线的交点为B,C,ab、a+b丿，C&ab),而a-ba-ba-bab、a+b丿因jit2AB=BC,:.4(72=b2e=a/5.223.（2009浙江文）已知椭圆二+与=l（d>b>0）的左焦点为F,右顶点为A,cTb点B在椭圆上,且BF丄兀轴,直线AB交y轴于点P.若AP=2PB,则椭闘的离心率是（1C.—3D.【解析】对于椭圆,因为

15、AP=2PB,则0A=20F、；•a=2c1e=—24.（2009山东卷理）设双曲线二a~9的-条渐近线与抛物线y=x2+l只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）.5A.-4B.5C.D.V5【解析】：双Illi线二a2b1的一条渐近线为y=-xf由方程组