探究圆锥曲线中离心率的问题.doc

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1、.探究圆锥曲线中离心率的问题离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现，下面给同学们介绍常用的四种解法。一、直接求出a、c，求解e已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解。例1.过双曲线C：的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且

2、AB

3、=

4、BC

5、，则双曲线M的离心率是（）A.B.C.D.分析：这里的，故关键是求出，即可利用定义求解。解：易知A（-1，0），则直线的方程为。直线与两条渐近线和的交点分别为B、C，又

6、AB

7、=

8、BC

9、，可解得，则故有，从而选A。二、变

10、用公式，整体求出e例2.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.分析：本题已知，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。解：由（其中k为渐近线的斜率）。这里，则，从而选A。三、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。例3.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D.解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则轴，知

11、MF

12、是通径

13、的一半，则有。由圆锥曲线统一定义，得离心率，从而选B。四.构造a、c的齐次式，解出e..根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值，这也是常用的一种方法。例4.已知、是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.B.C.D.解：如图，设的中点为P，则点P的横坐标为，由，由焦半径公式，即，得，有，解得（舍去），故选D。练一练设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，

14、则椭圆的离心率是（D）A.B.C.D.解：由高考试题分析1.（2009全国卷Ⅰ）设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于(C)（A）（B）2（C）（D）解：渐进线的斜率与抛物线切线的斜率相等。设切点，则切线的斜率为.由题意有又，解得:.由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即，2.（2009浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是()..A．B．C．D．答案：C【解析】对于，则

15、直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，，因此．3.（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解析】对于椭圆，因为，则4.(2009山东卷理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为().A.B.5C.D.【解析】:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,,故选D5.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为的是（A）（B）（C）（D）[解析]由得，选B6.（2009江西卷文）设和为

16、双曲线()的两个焦点,若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A．B．C．D．3【解析】由有,则,故选B.7.（2009江西卷理）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，..为右焦点，若，则椭圆的离心率为A．B．C．D．【解析】因为，再由有从而可得，故选B8.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率(A)A．B.C.D.9.（2008福建理11）双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且

17、PF1

18、=2

19、PF2

20、,则双曲线离心率的取值范围为（B）A.(

21、1,3)B.C.(3,+)D.利用第二定义及焦半径判断10.（2008湖南理8）若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是(B)A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D.(5,+)解析：利用第二定义11.（2008江西理7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）A．B．C．D．解析：满足的点总在椭圆内部，所以c

22、）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（B）A．B．C．D．14.（2008浙江理7）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（D）（A）3（B）5（C）（D）15.（2008全国二文11）设是等腰三角形，，则以为焦点且过点..的