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时间:2019-05-09
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1、学科网(www.zxxk.com)全国最大的教学资源网站!探究圆锥曲线离心率的问题在新课程中,圆锥曲线的离心率问题是高考中常考的问题,通常有两类:一是求椭圆和双曲线的离心率的值;二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围。由于它涉及圆锥曲线较多的基本量,方程与曲线问题,方程组与不等式的求解问题,等等,所以相对比较复杂,学生常常感到难以下手,不好把握。下面就通过近年的一些高考题和模拟题的分析、研究和求解,总结出一般的解题策略和方法。1.求圆锥曲线离心率的值例1.(2008江苏)在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为,以O为圆心,为半径的圆,
2、过点作圆的两切线互相垂直,则离心率=分析:如图,,与圆O相切,由于切线,互相垂直,所以四边形OAPB为正方形,,这样就得到一个关于基本量,的齐次方程,从而求解出比值的值。解:由已知条件,四边形OAPB为正方形,所以,所以,解出,即例2.(2010南通二模)A,B是双曲线C的两个顶点,直线l与双曲线C交于不同的两点P,Q,且与实轴垂直,若,则双曲线C的离心率=。分析:直线l的任意性,取特殊情况,例如,这样可以得到结果。当然我们应用多项式恒等于0,可以得到对应的系数为0,从而得到一个关于基本量的方程,再解出比值北京学易星科技有限
3、公司版权所有@学科网学科网(www.zxxk.com)全国最大的教学资源网站!的值。解:不妨设双曲线C的方程,则,,根据已知条件,设,,所以,,由,得,又,所以,即恒成立,所以,得,所以,所以,从而。2.求圆锥曲线离心率的取值范围例3.(2010四川)椭圆的右焦点F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是.分析:由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,即F点到P点与A点的距离相等,。如果我们考虑几何的大小,易知不超过,得到一个关于基本量,,,的不等式
4、,从而求出离心率的范围;如果我们考虑,通过设椭圆上的点,注意到椭圆本身的范围,也可以求出离心率的范围。解法1:由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,所以,而,,北京学易星科技有限公司版权所有@学科网学科网(www.zxxk.com)全国最大的教学资源网站!所以,所以。又,所以,所以,即,又,所以解法2:设点。由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,所以,由椭圆第二定义,,所以,而,,所以,解出,由于,所以,又,所以,即,又,所以例4.(2009重庆理)已知双曲线的左、右焦点分别为,若双曲线上
5、存在一点使,则该双曲线的离心率的取值范围是.分析:由正弦定理,所以,又根据双曲线的定义,,所以易得到,。因为,所以P点在双曲线的右半支上,如果我们考虑几何的大小,易知,得到一个关于基本量,,,的不等式,从而求出离心率的范围;如果我们考虑,通过设双曲线上的点北京学易星科技有限公司版权所有@学科网学科网(www.zxxk.com)全国最大的教学资源网站!,注意到双曲线本身的范围,也可以求出离心率的范围。解法1:在中,由正弦定理得,,所以,又根据双曲线的定义,,所以易得到,,由已知,,所以点P在双曲线的右支上,所以,所以,,因为,
6、所以,所以。解法2:设点。由双曲线第二定义,,,所以,,,又,所以,。在中,由正弦定理得,,所以,则,所以,由已知,,所以点P在双曲线的右支上,所以,,因为,所以,所以。例5.(2010南京三模)已知椭圆的焦点分别为,,若该椭圆上存在一点P,使得,则椭圆离心率的取值范围是.分析:如果我们考虑几何的大小,我们发现当当P为椭圆的短轴的顶点B1(或B2)时∠F1PF2北京学易星科技有限公司版权所有@学科网学科网(www.zxxk.com)全国最大的教学资源网站!最大(需要证明),从而有0<∠F1PF2≤∠F1B1F2.(或),此时
7、离心率,当椭圆比此时更圆,则就不存在点P,使得了,根据条件可得∠F1B1F2≥60°,易得≥,故≤e<1。;如果我们考虑,通过设椭圆点,利用椭圆本身的范围,也可以求出该椭圆离心率的取值范围。解法1:首先证明,在三角形中,由余弦定理,当且仅当时,等号成立,即当M与椭圆的短轴的顶点(或)重合时最大。余同分析。解法2:设点。由椭圆第二定义,,,所以,,,又,所以,,在三角形中,由余弦定理,,代入并整理得,而,所以,,又,所以。3.总结:(1).圆锥曲线离心率的问题,通常有两类:一是求椭圆和双曲线的离心率;二是求椭圆和双曲线离心率的
8、取值范围。(2).一般来说,求椭圆(或双曲线)的离心率,只需要由条件得到一个关于基本量,北京学易星科技有限公司版权所有@学科网学科网(www.zxxk.com)全国最大的教学资源网站!,,的一个方程,就可以从中求出离心率。(3).一般来说,求椭圆(或双曲线)的离心率的取值范围,通常可以从三
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