圆锥曲线离心率问题

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1、第九章圆锥曲线的离心率问题解析几何圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数之间的联系。一、基础知识：1、离心率公式：（其中为圆锥曲线的半焦距）（1）椭圆：（2）双曲线：2、圆锥曲线中的几何性质及联系（1）椭圆：，①：长轴长，也是同一点的焦半径的和：②：短轴长③椭圆的焦距（2）双曲线：①：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：②：虚轴长③椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：

2、（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距。从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口第九章圆锥

3、曲线的离心率问题解析几何（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：二、典型例题：例1：设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．思路：本题存在焦点三角形，由线段的中点在轴上，为中点可得轴，从而，又因为，则直角三角形中，，且，所以答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意为中点是一个隐含条件，如果图中存在其它

4、中点，则有可能与搭配形成三角形的中位线。例2：椭圆与渐近线为的双曲线有相同的焦点,为它们的一个公共点,且,则椭圆的离心率为________思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设，在双曲线中，，不妨设在第一象限，则由椭圆定义可得：第九章圆锥曲线的离心率问题解析几何，由双曲线定义可得：，因为，而代入可得：答案：小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。例3：如图所示，已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜

5、角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用表示，再寻找一个等量关系解出的关系。双曲线的渐近线方程为，由直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍可得：，确定直线l的方程为，与渐近线联立方程得将转化为坐标语言，则，即，解得，从而第九章圆锥曲线的离心率问题解析几何答案：B例4：设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为A.B.C.D.3思路：条件与焦半径相关，所以联想到，进而与找到联系，计算出的比例，从而求得解：即解得：（舍）或答案：B例

6、5：如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为.思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意义，所以考虑将点的坐标用进行表示，在利用条件求出离心。首先直线的方程含，联立方程后交点的坐标可用进行表示（），则中点，再利用点在椭圆上即可求出离心率第九章圆锥曲线的离心率问题解析几何解：直线的方程为：；直线的方程为：，联立方程可得：解得：，则在椭圆上，解得：答案：例6：已知F是双曲线的左焦点，是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点

7、，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．思路：从图中可观察到若为锐角三角形，只需要为锐角。由对称性可得只需即可。且均可用表示，是通径的一半，得：，，所以，即答案：B小炼有话说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题第九章圆锥曲线的离心率问题解析几何（2）本题还可以从直线的斜率入手，，利用即可求出离心率例7：已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A.B.C.D.思路：为焦点三角形的内角，且对边为焦半径，所以利用正弦定

8、理对等式变形：，再由解得：，再利用焦半径的范围为可得（由于依题意，非左右顶点，所以焦半径取不到边界值）：，解得答案：D例8：已知是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.思路一：