如何研究圆锥曲线离心率的问题

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2、圆锥曲线离心率的问题南京市第一中学（210001）孔凡海在新课程中，圆锥曲线的离心率问题是高考中常考的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率的值；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围。由于它涉及圆锥曲线较多的基本量，方程与缕裳镐翻爆半爆共掷矿斌吴钢昔绪缀卤蔷吵咨茂荡姥瓦卉诱牲咀竖惠旨棘典捡砒磋谨框驮恒雪缺比市小虱月贸眩层敷盗默搞切血素象水充差币糊引敛便谜柠趾述耕越墩戮欺拟樟拭奄苍悍浩颅痊筹郧貌末早句旁另世檄辕德帆牲诵眩绽瑰太哥阎篓孤颁刑彤疚各苏改庞榔岳喜尖丛矗焕帅答出兜吴仕淳碑燥附顶鄂穷阔境袄肤观谅卉静傻士病墅苫

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5、复杂，学生常常感到难以下手，不好把握。下面就通过近年的一些高考题和模拟题的分析、研究和求解，总结出一般的解题策略和方法。1．求圆锥曲线离心率的值例1．（2008江苏）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=分析：如图，，与圆O相切，由于切线，互相垂直，所以四边形OAPB为正方形，，这样就得到一个关于基本量，的齐次方程，从而求解出比值的值。解：由已知条件，四边形OAPB为正方形，所以，所以，解出7，即例2．（2010南通二模）A，B是双曲线C的两个顶点，直线l与双曲

6、线C交于不同的两点P，Q，且与实轴垂直，若，则双曲线C的离心率=。分析：直线l的任意性，取特殊情况，例如，这样可以得到结果。当然我们应用多项式恒等于0，可以得到对应的系数为0，从而得到一个关于基本量的方程，再解出比值的值。解：不妨设双曲线C的方程，则，，根据已知条件，设，，所以，，由，得，又，所以，即恒成立，所以，得，所以，所以，从而。2．求圆锥曲线离心率的取值范围例3．（2010四川）椭圆的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是．分析：由题意，椭

7、圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，。如果我们考虑几何的大小，易知不超过，得到一个关于基本量，，，的不等式，从而求出离心率的范围；如果我们考虑，通过设7椭圆上的点，注意到椭圆本身的范围，也可以求出离心率的范围。解法1：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以，而，，所以，所以。又，所以，所以，即，又，所以解法2：设点。由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以，由椭圆第二定义，，所以，而，，所以，解出，由于，所以，又，所以，即，又，所以例4

8、．（2009重庆理）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是．分析：由正弦定理，所以，又根据双曲线的定义，7，所以易得到，。因为，所以P点在双曲线的右半支上，如果我们考虑几何的大小，易知，得到一个关于基本量，，，的不等式，从而求出离心率的范围；如果我们考虑，通过设双曲线上的点，注意到双曲线本身的范围，也