谈圆锥曲线求离心率范围问题

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1、谈圆锥曲线求离心率范围问题山东省平度市第九中学张蕾圆锥曲线求离心率范围问题一致是近几年高考的重点和热点，笔者就近二十五年的教学经验，对求离心率范围问题的类型谈以下几点：类型Ⅰ：由曲线图形的性质，求离心率范围方法：从曲线的方程和性质，结合图形的特定形状，求离心率范围例1：已知双曲线（a、b∈R+）的左右焦点，分别为F1、F2，p是其左支上一点，p到左准线的距离为d，若d、

2、PF1

3、、

4、PF2

5、成GP，求离心率的取值范围。法1：建立x0的函数式法设p(x0,y0)∴xo≤-ay

6、PQ

7、=d=-xo-PQ

8、PF1

9、=-exo-a

10、PF2

11、=-exo+aF1F

12、2x由

13、PF1

14、2=d

15、PF2

16、得(-exo-a)2=(-xo-)(-exo+a)=(-exo-a)(-exo+a)∴(e2-e)x0=-a(e+1)∴xo=≤-a∴e2-2e-1≤0解得1-≤e≤1+∴双曲线的离心率1

17、PF1

18、=de

19、PF1

20、-

21、PF2

22、=2a∴

23、PF2

24、=2a+

25、PF1

26、=2a+de由

27、PF1

28、2=d

29、PF2

30、得(de)2=d(2a+de)∴d=∵

31、PF1

32、+

33、PF2

34、≥2c+≥2ce2-2e-1≤01-≤e≤1+由双曲线性质知1

35、做双曲线在第一、三象限的渐近线的垂线L，垂足为P，L与双曲线左右支分别交于A、B两点①求证点P在双曲线的右准线上②求双曲线离心率的取值范围解：①设P（x、y）,则直线L的斜率KL=∴L的方程y=(x-c)y即x=APB∴点P在双曲线的右准线上Fx②（b4-a4）x2+2a4cx-a2（a2c2+b2）=0∵L与双曲线左右支分别交于A、B两点则xAxB<0∴<0∴b4-a4>0b2-a2>0∵b2=c2-a2∴c2-2a2>0∴e>类型Ⅱ:由参变量范围求离心率范围方法：利用参数思想，视原参数为桥梁，便可将离心率的范围求出例2：已知椭圆（）的两焦点为F1,

36、F2，斜率为K的直线过右焦点F2，与椭圆交于A,B两点，与y轴交于C点，且B为CF2的中点，若求离心率e的取值范围。y解：设L方程y=K(x-c)C令x=0∴C(0,-ck)BF2(c,0)及B为CF2中点∴B()F1F2x代入椭圆方程:由b2=a2-c2代入得K2=由得K2∴∴变式:若双曲线的一条渐近线的倾角为锐角,且,求e的范围.解:渐近线方程:y=∴=,e======∴∴∴2∴e2类型Ⅲ:由离心率的范围求参数范围方法:由圆锥曲线的性质建立离心率及参数的函数关系式,由离心率范围求参数范围例3:椭圆(a、bR+)与直线x+y-1=0相交于P、Q两点,

37、且OPOQ,O为原点,求(1)的值(2)若离心率e[,]求椭圆长轴的取值范围解(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2)由OPOQx1x2+y1y2=0(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0yx1+x2=x1x2=Py1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+12x1x2-(x1+x2)+1=0OQx2-+1=0a2+b2=2a2b2=2(*)(2)由e=e2==由*式得b2=2-代入上式得a2=+≤e≤≤e2≤,≤1-e2≤≤≤1≤a2≤≤2a≤变式:已知双曲线,离心率e(1,2),求m的取值范围解:e==1

38、1<<2-12