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1、旋转在三角形中的运用图形与变换是新课程标准中空间与图形部分的重要内容，导致了课改实验区的中考试卷成为命题的热点，本文就旋转变换设计的有关命题加以探究，与读者共同感受旋转亮出的风采.1.已知AABC是等边三角形，P是三角形内一点,ZBPC=150°,PB=2,PC=1,求PA的长.在平面内，一个图形绕某一点按一定的方向旋转一定的角度，这样的图形的运动称为旋转，这一点叫旋转中心.旋转不改变图形的形状和大小，它是由旋转中心和旋转的角度确定的.由旋转的定义可知，旋转具有如下的特征：①图形旋转时，图形上每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；②旋转后的图形与
2、原来的图形对应线段、对应角相等；③对应点到旋转中心的距离相等；④旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化.一、旋转在三角形中的运用分析：观察图形，题目中给出的条件难以发挥作用，为了聚集条件，我们可将AAPB绕点A逆时针旋转6()。到厶AQC的位置，因而△AQC^AAPB,所以AP=AQ,又ZPAQ=60°所以AAPQ为等边三角形，欲求PA的长只需求PQ的长.由图形和条件可得Z1=180°-(ZAPC+ZCAP),Z3=180°-(ZAPB+ZBAP),所以Zl+Z2=Zl+Z3=180°-(ZAPC+ZCAP)+18()。一(ZAPB+ZB
3、AP)=360°-ZBAC-(360°-ZBPC)=ZBPC-ZBAC=150°-60°=90°；在RTAPCQ中，由勾股定理得PQ=7pC2+CQ2=Vpc2+pb2=V5.二、旋转与全等2.在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD丄MN于D,BE丄MN于玖1)当直线MN绕着点C旋转到图的位置时，求证：AADC^ACEB,DE二AD+BE.(2)当直线MN绕点着点C旋转到图的位置时，求证：DE=AD-BE.(3)当直线MN绕点着点C旋转到图的位置时，试问：线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系式，并加
4、以证明.分析：观察图可知，运用角角边公理可证△ADC^ACEB,从而AD=CE,DC=EB.故命题得证.当直线MN绕点着点C旋转到图或图的位置吋，虽然AADC与ACEB的位置变了，但他们仍然全等，仍然有CD二BE,AD=CE,因此DE=CE-CD=AD-BE或DE=CD-CE=BE-AD.解：(1)VAD丄MN,BE丄MN,AZADC=ZCED=90°.VZACB=90°oAZl+Z2=90°,VZ2+Z3=90°,AZ1=Z3.VAC=BC,.•.△ADC竺△CEB(AAS),・*.DC=EB,AD=CE,・・・DE二DC+CE二EB+AD很卩DE
5、=AD+BE.⑵当MN旋转到图的位置吋,AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD(或AD=BE-DE,或BE=AD+DE等)，由(1)可证△ADC9ZCEB,・・AD=CE,CD=BE,ADE=CD-CE=BE-AD旋转与相似DFr~（湖州）将正方形ABCD与正方形EFGB按图甲放置，容易计算出一=<2,AG①若将正方形EFGB绕点B顺时针旋转到图乙的位置，此时上述结论是否成立，并说明理由.②若将正方形EFGB逆时针旋转120。，请画出图形分析：①连结DB、FB,因为ZFBD+ZDBG二ZDBG+ZABG=45。所以ZFBD二ZABG,又
6、因为—=—；所以△DFB^AAGB,所以空二空二佢.BGABAGBG②画出图形如丙图（旋转正方形BEFG时，标注字母时一定注意对应点位置的排列次序，否则酿成错误），连结BF、DB,则有ZDBF=ZFEB+ZEBA+ZABD=45°+ZEBA+45°=90°+ZEBA=ZEBC,且DBBFrrDFDBrr——=—=V2,所以△DBF^ACBE,所以一=——=冷2.BCBECEBC2.（武汉市）将两块含3（）。角且大小相同的直角三角板如图放置⑴将图中厶A】B】C绕点C顺时针旋转45。得图，点P,是A.C与AB的交点.求证:CPi={2AP[.2（2）将图
7、中的厶A]B】C,绕点C顺时针旋转30。到厶A2B2C（如图）,P?是A2C与AB的交点，线段CP
8、与P
9、P2之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式,并说明理由.（3）将图中线段CP,绕点C顺时针旋转60。到CP3（如图），连接P2P3,求证P2P3丄AB.厂32A分析:这是一个三角板绕定点C顺时针方向旋转问题，在旋转过程中厶A]B]C与AABC的对应元素的相等关系保持不变.变化元素是CA]与AB的相对位置关系，因而带动了CP】长度的变化及AP
10、长度的变化，但是建立了CP】与AP,及CP】与PAP2之间的关系的方法是一致的.解:⑴作PiM丄A
11、C于M,WlJZP,MC=ZP1MA=90°,VAA
12、B,C绕点C顺时针旋转45°,即ZBCP
13、=45°,.
