浅谈直角三角形在三角函数中的运用.doc

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1、浅谈直角三角形在三角函数中的运用曲靖市罗平职业技术学校李小卫【摘要】已知一个角的三角函数值，求该角的其他三角函数值，常见的题目有三种：一是函数值已知且角所在象限已知；二是函数值已知但角所在象限未知;三是函数值用字母给出而没有确定角的象限。这些内容都是同角三角函数关系式的一个重要应用，采用常规做法运算量大，易出错，借助直角三角形求解，避开连锁运算，尤其在选择题、填空题中采用此法，解题速度快，准确率高，节约很多时间。【关键词】三角函数求值直角三角形勾股定理在三角函数求值中，使用诱导公式可以把复杂的角化为简单的锐角求值，设为非界限角的任意角，，，可用诱导公

2、式把角化为锐角求值，有式子：=±，=±，=±成立。1．结论得出定理：无论是哪个象限的角（非象限角），都有一个锐角的三角函数值与的同名三角函数值相等或互为相反数。即：=，=，=。o证明：（1）当为第一象限角时：由终边相同的角三角函数值相等得：=，=，=。（2）当为第二象限角时：的终边与的终边关于轴对称，与的关系为：+=+2（Z），即：=+2（Z）。=sin（+2）=，cos=cos（+2）=，=tan（+2）=（Z）（3）同理可证明当为第三象限角时：=，=，=（4）当为第四象限角时:=，=，=.所以：无论是哪个象限的角都有锐角使得：=，=，=。所以欲求

3、的三角函数值先求对应锐角的三角函数值，由的象限判断正负，从而求出的三角函数值。2.解题步骤：一画，二用，三求，四定。1．画一直角三角形；2．用勾股定理,函数值的绝对值视为两边之比，求第三边；3．求锐角的其它函数值，即对应角的其它三角函数值的绝对值；4．确定角的其它三角函数值符号，由角所在象限决定。3．应用举例例1．已知=－，且是第三象限的角，求的其他三角函数值。解：（1）（画直角三角形）设对应的锐角为（2）（由勾股定理求第三边）∵==，所以，在直角三角形中锐角对应三边比数如图：(3)(求锐角的其它函数值,即的其他三角函数值的绝对值)∴==，==(4)

4、(确定角的其它三角函数值符号)∵是第三象限的角，故，>0，∴=，=说明：可根据倒数关系求出另外三个三角函数值，运用此法解题如要求叙述解题过程则同上，但括号(包括解题步骤序号的括号)内的文字，仅初学时要求学生书写，待熟练后可以省去，此时书写就简单多了。例2.=，求的其他三角函数值。解：设对应的锐角为∵==，作直角三角形，三边比数如图：∴==，==∵，故可能是第二或第三象限的角。∴（1）当是第二象限角时：=，=（2）当是第三象限角时：=，=例3.已知=，且是第二象限的角，求的正弦和余弦。解：设对应的锐角为∵===，作直角三角形，三边比数如图：∴===；=

5、==。∵是第二象限的角，故sin，，∴=，=例4.已知=为非零实数，求。解：设与对应的锐角为，tan==作直角三角形，三边比数如图：∴==∴1.当时，（1）若在第一象限时：=；（2）若在第三象限时：=–。2.当时，（1）若在第二象限时：=–；（2）若在第四象限时：=，所以（1）在第一象限或第四象限时：=；（2）在第二象限或在第三象限时=–。4.推广使用已知角终边一点坐标P()，可借助直角三角形快速求解，两边表示横坐标和纵坐标，斜边表示=﹥0，此时的三角形边可以是负数，角为任意角，把此三角形叫做“超越直角三角形”。例5.已知角的终边经过点P，求角的正弦

6、、余弦和正切值。解：作直角三角形如图（略）：=，则==，cos==，==。例6．设点P在角的终边上，且=，求和的值。解：借助图形得=，==,求得：=±3∵，故是第一或第二象限的角，∴（1）当是第一象限的角时：=，=；（2）当是第二象限的角时：=，=。这种解法的优点是可避免连锁成串地运用同角三角函数间的关系式，以及随之而来的多次无理式运算，这不仅大大减少运算失误的机会，而且使运算速度加快，提高解题效率。尤其在解填空、选择、判断题以及在解题过程中，只要摆出条件就可写出结果，而无需阐述解题过程的情况下，就更显现其优越性，此时仅通过心算或画一直角三角形就可以

7、解决问题。【参考文献】1.《数理化解题研究》2007年第3期同角三角函数“知值求值”的一种方法2.《中学数学》1990年第1期快速求三角函数值的一种教法