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1、.导数在三角函数中的应用1.【2014·北京卷（理18，文8）】已知函数，（1）求证：；（2）若在上恒成立，求的最大值与的最小值.【解析】（I）由得。因为在区间上，所以在区间上单调递减。从而。（Ⅱ）当时，“”等价于“”“”等价于“”。令，则，当时，对任意恒成立。当时，因为对任意，，所以在区间上单调递减。从而对任意恒成立。当时，存在唯一的使得。与在区间上的情况如下：→0→↗↘因为在区间上是增函数，所以。进一步，“对-..任意恒成立”当且仅当，即，综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，对任意恒成立。所以，若对任意恒成立，则a最大值为，b的最小值为1.2．【2014·辽
2、宁卷（文8）】已知函数，.证明：（Ⅰ）存在唯一，使；（Ⅱ）存在唯一，使，且对（1）中的x0，有.（Ⅰ）当时，，所以在上为增函数．又．．所以存在唯一，使．（Ⅱ）当时，化简得．令．记．．则．由（Ⅰ）得，当时，；当时，．从而在上为增函数，由知，当时，，所以在上无零点．在上为减函数，由及知存在唯一，使得．于是存在唯一，使得．设．．因此存在唯一的，使得．由于，，所以．3．【2014·湖南卷（文21）】已知函数.-..（1）求的单调区间；（2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有（I）数求导可得,令可得,当时,.此时;当时,,此时,故函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(II)
3、由(1)可知函数在区间上单调递减,又,所以,当时,因为,且函数的图像是连续不断的,所以在区间内至少存在一个零点,又在区间上是单调的,故,因此,当时,;当时,;当时,,-..综上所述,对一切的,.4．（2013年高考重庆卷（文））已知函数,,则（ ）A．B．C．D．【答案】C5．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））函数在的图像大致为【答案】C;6．（2013年高考山东卷（文））函数的图象大致为【答案】D7．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有2个小题.第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数,其中常数.-..(1)令,判断函数的奇偶性并说明理由;(2)令,将函数的
4、图像向左平移个单位,再往上平移个单位,得到函数的图像.对任意的,求在区间上零点个数的所有可能值.【答案】法一:解:(1)是非奇函数非偶函数.∵,∴∴函数是既不是奇函数也不是偶函数.(2)时,,,其最小正周期由,得,[来源:学,科,网]∴,即区间的长度为10个周期,若零点不在区间的端点,则每个周期有2个零点;若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点,其它区间仍是2个零点;故当时,21个,否则20个.法二:-..8．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数的图象大致为【答案】D9．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已
5、知函数,其中常数;(1)若在上单调递增,求的取值范围;(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间(且)满足:在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.【答案】(1)因为,根据题意有
(2),
或,
-..即的零点相离间隔依次为和,
故若在上至少含有30个零点,则的最小值为.
10.（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.(1)求函数与的解析式
6、;(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.[来源:学,科,网](3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.【答案】解:(Ⅰ)由函数的周期为,,得
又曲线的一个对称中心为,
故,得,所以
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数
(Ⅱ)当时,,
所以
问题转化为方程在内是否有解
设,
则
因为,所以,在内单调递增
又,
-..且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点,
即存在唯一的满足题意
(Ⅲ)依题意,,令
当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价
7、于关于的方程,
现研究时方程解的情况
令,
则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况
,令,得或
当变化时,和变化情况如下表当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点;
当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;
当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点
由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在-..内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,,所以
综上,当,时,函
