和差化积公式在三角函数中的综合运用（原稿）

《和差化积公式在三角函数中的综合运用（原稿）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、和差化积公式在三角函数中的综合运用王永洪1（北京市海淀区北京理工大学机电学院，100081）和差化积公式与积化和差公式是两角和差三角函数公式基础上利用导出的两组公式，对于利差化积公式，考虑两个同名正弦或余弦三角函数值之和或差，将两个角度表示为两个角度的和与差的形式，然后利用两角和差正余弦三角函数公式展开运算，即可得到两个角度三角值乘积的形式，如COSG-COS0,a二竺±0+兰二0、0=竺±0一旦，将这两个角度关系代入上式，得到2222COSQ-cos0=2sin竺辺sin色兰，而积化和差公式推导遵循相反的运算过程。和差化积公式是不宜机械22记忆的，也没有

2、这种必要，因为在解题屮不断练习公式的推导过程，并在不同的问题屮尝试运川公式另辟新解法而对公式运用达到灵巧熟练的地步。从公式的推导过程可见角度恒等式。=空0+竺二0、22空E一―是和差关系向乘积关系转化的关键，只要两角和差正余弦公式能熟练无误地运用，这两22组公式便可以熟练、快速而准确的导出，因此，熟练掌握公式的推导方法比公式结果有更重要的价值。和差化积公式在实际三角函数问题中具有广泛的运用，特别是在三角求值问题屮和边角关系复杂的三角形问题中，很多用两角和差三角函数公式无法解决的问题能顺利解决，还能得到更一•般的结论，这无疑对探索相关一类问题的一般解法具有重

3、要意义。下面将举例介绍和差化积与积化和差公式在三角求值问题和解斜三角形问题中的综合运用，通过不同问题的求解过程，系统地认识这两组公式在解题中的效用和适用范亂一.在三角求值问题中的运用.(I)求(II)设(a)(b)例1：实数x,y,z满足关系：sinx+siny+asinz=cosx+cosy+tzcosz=0(a为正数).证：T(x,y,z)=tan(x+y+?)+tanxtanytan乙为定值的充要条件是a-.y,z)=tan^A+5+-(a2-2)tanxtany,求这样的d,使得/(x,y,z)>-l.tanz(I)证叽(1)必要也sinx+si

4、ny=-.sinz.[cosx+cosy=-acosz(a)zSsinx+sinyAHnx+yzx2tanz——得=tanz,艮卩tan=tanz.tan(x+y)=•(b)cosx+cosy2'1一tarr?ztan(x+y)+tanz3tanz-tan3z因此，tan(x+y+z)=—————=；—1-tan(x+y)(anz1-3tanz作者联系信息：北京市海淀区中关村南大街5号北京理工大学机电学院116信箱，邮编:10008UE-mail:mtxxx2007@sina.com・另外,cos(x+y)=x+V~T_1-tan2z1+tan2z(1-2

5、)(a)2+(b)2得1+tan2(1-3)为了书写方便，以下出现umz的地方简记为s.由(1-2)和(1-3)得cosxcosy=1一厂CT1「・CT11-5"；—I与sinxsiny=2(1+$2)42422(1+2)以上两式相除，得到sinxsinva2一4+心°tanxtany==—ycosxcosy矿+(a_—4)厂(1-4)联合(1-1)和(1-4)可得(1-5)T(x,y9z)=tan(x+y+z)+tan兀tanytanz3s-s3a2-4+a2s21-?q2+(q2—4)$2$上式为定值，则必等于0.即有«>0,则a=,必要性得证；(2

6、)充分性：若g=1,由(1-5)^11T(x,y,z)=tan(x+y+z)+tanxtanytan=0.充分性显然成立.(II)解:记t=tan2zk=a2.由(1一3)0

7、(7-k}(k-4)1k/z(0)=lim/?(0=3+-,b(+oo)=lim/?(/)=-+(2-幻；笊1)=-k./->()-()k/—>4-003k—4分别将以上各式代入不等式/z(r)>-l,解不等式组：加0)»-1且力(+8)»1且力(l)n-i,并注意0

8、s22x-~.4(II)定义在R上的函数g(x)和常数a(ae卜龙