三角函数和差化积与积化和差公式教程

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1、和差化积和积化和差公式1、正弦、余弦的和差化积　　　【注意右式前的负号】　证明过程sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，　　sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，　　将以上两式的左右两边分别相加，得　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，　　设α+β=θ，α-β=φ　　那么，　　把α，β的值代入，即得sinθ+sinφ=2sincos2、正切和差化积tanα±tanβ=　　cotα±cotβ=tanα+cotβ=　　tanα

2、-cotβ=　　证明：左边=tanα±tanβ=　　=　　==右边　　在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次3、积化和差公式　（注意：此时差的余弦在和的余弦前面）　　或写作：（注意：此时公式前有负号）　　　证明　　积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。　　即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：　　　　　　其他的3个式子也是相同的证明方法。　结果除以2　　这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应

3、该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。　　也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：　　cos(α-β)-cos(α+β)　　=1/2[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]　　=2sinα·sinβ　　故最后需要除以2。