教学论文：浅谈下化归方法在三角函数中的应用

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1、教学论文：浅谈新课标下化归方法在三角函数中的应用摘要：新课程标准关注在教学中培养学生数学能力，而掌握基本数学思想方法则是形成和发展学生能力的基础。在数学教学中注重数学思想方法的培养，不仅可以提高课堂教学效率，减轻学生负担，而且有利于提高学生数学思维能力，培养创新精神。而化归方法是最重要、应用最广泛的数学思想。本文将借助高中数学必修四第一、第三章及必修五第一章三角函数部分具体阐述化归方法在数学中的应用。关键词：化归、等价、非等价、三角函数客观事物总是在不断变化的,并在一定条件下是会转化的。通过转化，将待解决的问题逐步转化为可解决的问题的思维方法，叫做等价与

2、非等价化归，或称化归方法。化归思想是数学思想的核心，其内涵十分丰富：高维向低维的化归，陌生向熟悉的化归，复杂向简单的化归，抽象向直观的化归，多元向一元的化归，高次向低次的化归，未知向已知的化归，数与形的化归，一般与特殊的化归，动与静的化归，有限与无限的化归等等，在数学中无时不有，无处不在。化归方法也是数学家处理问题的一种独特的思维方法,匈牙利数学家罗沙·彼得（Rosza　Peter）曾对此作过十分生动形象的描述。他的比喻道出了化归方法的基本特征：(1).问题转换性：将待求的A问题转化成为相对于求解者来说已能解决的B问题,问题的转化是化归的关键。(2).间

3、接性：因问题已转化，常常表现为不是原问题直接求解。(3).后瞻性：在一个问题序列中，往往不是由旧问题的求解逻辑的演进到新问题的求解，而是从新问题出发，逆向转换，寻求与旧问题连接的通路。(4).简捷性：只要待求问题A与已解决问题B之间搭上桥，问题即解决，不必再重复有些过程。利用化归方法解决问题的过程,可以图示为如下基本模式：新问题解答已知问题解答化归还原容易困难显然，利用化归原则解决问题的必要条件是：与原来的问题相比，化归后得出的问题必须是已经解决了的，或者较为容易的、简单的。因此，化归的方向应是：由未知到已知，由复杂到简单，由困难到容易。化归思想贯穿于各

4、级各类数学教材的始终，贯穿于解题过程的始终，它是最重要、应用最广泛的数学思想。本文将着重介绍化归方法在三角函数中的应用。现行普通高中课程标准试验教科书数学必修四第一章、第三章及必修五第一章三角函数主要分为任意角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质、解三角形四部分。总结这几章的学习内容和习题，我们会发现大量运用了化归思想，现概括成以下两个方面：一.等价化归：所谓等价化归,就是在保持一个数学系统的条件下,把所讨论的数学问题中有关命题或对象的表现形式做可逆的逻辑改变（即由A经过逻辑推理或演算可以推出B，反过来由B又可经逻辑推理或演算可以推出A

5、）。以使所讨论的数学问题化归为我们熟悉的或容易处理的问题。对于所给的一个问题，经过一定的变换，把它变成一些与它等价的问题，一般地说，这些等价问题一个比一个简单直至将它变换成某种标准形式，然后经过直接、简单的计算，得出所需的结果（或解）。在三角函数部分，进行三角函数式的化简、求值、恒等变形和证明时，常常需要等价化归的思想，下面着重谈谈运用等价化归思想应遵循的几个原则：1．把未知化归为已知：三角函数部分，用到此思想最多的便是利用诱导公式把求任意角的三角函数值逐步化归成求锐角三角函数值。一般可以按下面的步骤进行：6任意负角的三角函数0°到360°的角的三角函数

6、锐角的三角函数任意正角的三角函数例．求下列三角函数值:(1)Sinπ　　　　　(2)Cos(－π)解：(1)Sinπ=Sin(2π－π)=-Sinπ=－(2)Cos(－π)=Cos(－－3×2π)=Cos=2.把数化归为形：代数是研究“数”的科学，几何则是研究“形”的科学；三角函数作为一种工具，两者皆而有之。代数与几何是对立的两个方面，二者在坐标系下统一了起来。三角函数的解析式，我们称之为“数”，单位圆、直角三角形等理解为“形”。三角函数的图像可以直观的反映出三角函数的性质；反之，掌握了三角函数的性质，就能简捷地做出图像，两者是相辅相成的。三角函数的图像

7、，可以看作“数”向“形”的一种转换，由于这一转换，可以使学生直观的认识三角函数的一些规律：如三角函数的定义域、值域（即图像在坐标平面上的伸展范围）；最大值、最小值（图像上的最高点、最低点）；奇偶性（图像关于原点或y轴对称）；单调性（图像的升降情况）；周期性（图像每隔一定距离形状相同）等。yABxoC把已知三角函数值求角化归为求[0,2π]上适合条件的角的集合，也是把数化归为形思想的典型应用。例1.解不等式：Sinx＜－解：在y轴上过(0,－)的点C作x轴的平行线。交单位圆于A、B两点。从图可见，在[0,2π]上，分别得交点π和π∴其解集为{π+2kπ＜x

8、＜π+2kπ，k∈Z}yA-xo例2.解不等式tanx＞解：过y轴上点处作x轴的