向量在三角形中的应用

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1、向量与三角形的内心、外心、重心的应用（带答案）一、知识总结：二、针对性例题：1．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部答案　C解析　由＋＋＝得＋＝－＝，即＝－＝2，所以点P在线段AC上．2．设P为锐角△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)，＝k(＋)(k∈R)，若cos∠BAC＝，则k等于(　　)A.B.C.D.答案　A解析　取BC的中点D，连接PD，AD，则PD⊥BC，＋＝2，∵＝k(＋)(k∈R)，∴＝2k，∴A，P，D三点共线，∴AB＝AC，∴cos∠BAC＝

2、cos∠DPC＝＝＝，∴AP＝AD，∴2k＝，解得k＝，故选A.3、.设G为△ABC的重心，且sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，则角B的大小为________．答案　60°解析　∵G是△ABC的重心，∴＋＋＝0，＝－(＋)，将其代入sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，得(sinB－sinA)＋(sinC－sinA)＝0.又，不共线，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，则sinB＝sinA＝sinC．根据正弦定理知b＝a＝c，∴△ABC是等边三角形，则角B＝60°.4．(2017·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△

3、ABC的形状为(　　)A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形答案　C解析　因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，因为－＝，所以(－)·(＋)＝0，即

4、

5、＝

6、

7、，所以△ABC是等腰三角形，故选C.4、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)A．内心B．外心C．重心D．垂心(2)由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．5本例中，若动点P满足＝＋λ

8、，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________．答案　内心解析　由条件，得－＝λ，即＝λ，而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．6、　(1)在△ABC中，已知向量与满足(＋)·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形解析　(1)，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知＋为∠BAC的平分线．因为(＋)·＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.又·＝··cos∠BAC＝，所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，故∠

9、BAC＝，所以△ABC为等边三角形．7．在△ABC中，(＋)·＝

10、

11、2，则△ABC的形状一定是(　　)A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案　C解析　由(＋)·＝

12、

13、2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到

14、

15、＝

16、

17、，故△ABC一定是直角三角形．8、已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：a+b+c=0，则P点为三角形（　　）A．外心B．内心C．重心D．垂心解在AB，AC上分别取点D，E，使得=，，则=1．以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则四边形ADFE是菱形，且==．∴AF为∠B

18、AC的平分线．∵a+b+c=∴a+b•（）+c•（）=，即（a+b+c）+b+c=，∴==（）=．∴A，P，F三点共线，即P在∠BAC的平分线上．同理可得P在其他两角的平分线上，∴P是△ABC的内心．故选：B．