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时间:2018-10-17
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1、向量与三角形的内心、外心、重心的应用(带答案)一、知识总结:二、针对性例题:1.已知平面内一点P及△ABC,若++=,则点P与△ABC的位置关系是( )A.点P在线段AB上B.点P在线段BC上C.点P在线段AC上D.点P在△ABC外部答案 C解析 由++=得+=-=,即=-=2,所以点P在线段AC上.2.设P为锐角△ABC的外心(三角形外接圆的圆心),=k(+)(k∈R),若cos∠BAC=,则k等于( )A.B.C.D.答案 A解析 取BC的中点D,连接PD,AD,则PD⊥BC,+=2,∵=k(+)(k∈R),∴=2k,∴A,P,D三点共线,∴AB=AC,∴cos∠BAC=
2、cos∠DPC===,∴AP=AD,∴2k=,解得k=,故选A.3、.设G为△ABC的重心,且sinA·+sinB·+sinC·=0,则角B的大小为________.答案 60°解析 ∵G是△ABC的重心,∴++=0,=-(+),将其代入sinA·+sinB·+sinC·=0,得(sinB-sinA)+(sinC-sinA)=0.又,不共线,∴sinB-sinA=0,sinC-sinA=0,则sinB=sinA=sinC.根据正弦定理知b=a=c,∴△ABC是等边三角形,则角B=60°.4.(2017·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△
3、ABC的形状为( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形答案 C解析 因为(-)·(+-2)=0,即·(+)=0,因为-=,所以(-)·(+)=0,即
4、
5、=
6、
7、,所以△ABC是等腰三角形,故选C.4、已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )A.内心B.外心C.重心D.垂心(2)由原等式,得-=λ(+),即=λ(+),根据平行四边形法则,知+是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.5本例中,若动点P满足=+λ
8、,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的________.答案 内心解析 由条件,得-=λ,即=λ,而和分别表示平行于,的单位向量,故+平分∠BAC,即平分∠BAC,所以点P的轨迹必过△ABC的内心.6、 (1)在△ABC中,已知向量与满足(+)·=0,且·=,则△ABC为( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形解析 (1),分别为平行于,的单位向量,由平行四边形法则可知+为∠BAC的平分线.因为(+)·=0,所以∠BAC的平分线垂直于BC,所以AB=AC.又·=··cos∠BAC=,所以cos∠BAC=,又0<∠BAC<π,故∠
9、BAC=,所以△ABC为等边三角形.7.在△ABC中,(+)·=
10、
11、2,则△ABC的形状一定是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案 C解析 由(+)·=
12、
13、2,得·(+-)=0,即·(++)=0,2·=0,∴⊥,∴A=90°.又根据已知条件不能得到
14、
15、=
16、
17、,故△ABC一定是直角三角形.8、已知△ABC,P为三角形所在平面上的一点,且点P满足:a+b+c=0,则P点为三角形( )A.外心B.内心C.重心D.垂心解在AB,AC上分别取点D,E,使得=,,则=1.以AD,AE为邻边作平行四边形ADFE,则四边形ADFE是菱形,且==.∴AF为∠B
18、AC的平分线.∵a+b+c=∴a+b•()+c•()=,即(a+b+c)+b+c=,∴==()=.∴A,P,F三点共线,即P在∠BAC的平分线上.同理可得P在其他两角的平分线上,∴P是△ABC的内心.故选:B.
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