正弦、余弦在三角形中应用

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1、正弦、余弦定理在三角形中的应用知识点一：三角形中的三角函数值的关系　　在中，，　　（1）互补关系：，　　　　　　　　　，　　　　　　　　　；　　（2）互余关系：，　　　　　　　　　，　　　　　　　　　.知识点二：正弦定理和余弦定理　　①正弦定理公式：　　　（其中R表示三角形的外接圆半径）　　②余弦定理公式：　　　第一形式：　　　　　　第二形式：　　　知识点三：三角形的面积公式　　①；　　②；知识点四：利用正、余弦定理解三角形的基本类型（1）已知一边和两角（例如a，B,C）　　解法步骤：　　1．利用A+B+C=180°，求A　　2．应

2、用正弦定理求b,c　　解的情况：唯一解（2）已知两边和其中一边的对角（例如a，b，A）　　解法步骤：　　1．应用正弦定理，求另一边的对角（即角B）　　2．利用A+B+C=180°，求第三个角　　3．应用正弦或余弦定理求第三边　　解的情况：两解、一解或者无解　　注意：此类问题要讨论解的情况　　　　　①若A为锐角时：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一解　　　　　　　　　　　一解　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　两解　　

3、　　　　　　　　　无解　　　　　②若A为直角或钝角时：（3）已知两边和夹角（a，b，C）　　解法步骤：　　1．应用余弦定理求边c　　2．应用正弦定理求a,b中较短的边所对的角（该角一定是锐角）　　3．利用A+B+C=180°，求第三个角.　　解的情况：唯一解（4）已知三边(a，b，c)　　解法步骤：　　法一：1.应用余弦定理先求任意两个角　　　　　2．用A+B+C=180°，求第三个角　　法二：1．应用余弦定理求a,b,c中最长边所对的角　　　　　2．应用正弦定理求余下两个角中的任意一个（该角一定是锐角）　　　　　3．利用A+B+C

4、=180°，求第三个角　　解的情况：唯一解知识点五：三角形的形状的判定1.特殊三角形的判定：　　（1）直角三角形　　　　勾股定理：，　　　　互余关系：，，；　　（2）等腰三角形　　　　，；2.用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）　　（1）在中，；　　（2）在中，；　　（3）在中，；规律方法指导　　1．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：　　（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；　　（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）　　注意：已知两边和其中一边对角，用正弦定理解三

5、角形有两解或一解或无解三种情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”　　2．利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：　　（1）已知三边，求三个角；　　（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角　　3.正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；　　4.判定三角形的形状时，需要把已知条件化简成能判断的单纯的角或边的形式.