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时间:2018-11-13
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1、正弦、余弦定理在三角形中的应用知识点一:三角形中的三角函数值的关系 在中,, (1)互补关系:, , ; (2)互余关系:, , .知识点二:正弦定理和余弦定理 ①正弦定理公式: (其中R表示三角形的外接圆半径) ②余弦定理公式: 第一形式: 第二形式: 知识点三:三角形的面积公式 ①; ②;知识点四:利用正、余弦定理解三角形的基本类型(1)已知一边和两角(例如a,B,C) 解法步骤: 1.利用A+B+C=180°,求A 2.应
2、用正弦定理求b,c 解的情况:唯一解(2)已知两边和其中一边的对角(例如a,b,A) 解法步骤: 1.应用正弦定理,求另一边的对角(即角B) 2.利用A+B+C=180°,求第三个角 3.应用正弦或余弦定理求第三边 解的情况:两解、一解或者无解 注意:此类问题要讨论解的情况 ①若A为锐角时: 一解 一解 两解
3、 无解 ②若A为直角或钝角时:(3)已知两边和夹角(a,b,C) 解法步骤: 1.应用余弦定理求边c 2.应用正弦定理求a,b中较短的边所对的角(该角一定是锐角) 3.利用A+B+C=180°,求第三个角. 解的情况:唯一解(4)已知三边(a,b,c) 解法步骤: 法一:1.应用余弦定理先求任意两个角 2.用A+B+C=180°,求第三个角 法二:1.应用余弦定理求a,b,c中最长边所对的角 2.应用正弦定理求余下两个角中的任意一个(该角一定是锐角) 3.利用A+B+C
4、=180°,求第三个角 解的情况:唯一解知识点五:三角形的形状的判定1.特殊三角形的判定: (1)直角三角形 勾股定理:, 互余关系:,,; (2)等腰三角形 ,;2.用余弦定理判定三角形的形状(最大角的余弦值的符号) (1)在中,; (2)在中,; (3)在中,;规律方法指导 1.利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角) 注意:已知两边和其中一边对角,用正弦定理解三
5、角形有两解或一解或无解三种情况,这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解” 2.利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角 3.正、余弦定理的实质是方程,因此在应用的过程中要留意方程思想; 4.判定三角形的形状时,需要把已知条件化简成能判断的单纯的角或边的形式.
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