平面向量在三角形中的应用

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1、1.1在同一平面上，有△ABC及一点满足关系式，则A．内心B．垂心C．外心D．重心是△ABC的（）变式训练：1.2已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．垂心C．外心D．重心1.3已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足，A．内心B．垂心C．外心D．重心，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）1.1在同一平面上，有△ABC及一点满足关系式，则A．内心B．垂心C．外心D．重心是△ABC的（）解：由即：化简有：同理有：为的垂心.B变式训练：1.2已知O是△ABC所在平面内的一

2、定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．垂心C．外心D．重心解：由已知所以动点P的轨迹一定通过△ABC的内心.A变式训练：ABCDEFP1.3已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足，A．内心B．垂心C．外心D．重心，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）解：由正弦定理知：又所以故点P轨迹通过△ABC的重心．D变式训练：的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数．解法一：特例法．为一个直角三角形，则O点斜边的中点，设顶点，这时有H点为直角，高考真题再现解法二：连BO延长交⊙O于D，连AD、C

3、D.CH∥DA同理，AH∥DC，又OHABDC∴四边形AHCD为平行四边形．CAHBOABCOGH三角形的欧拉线：外心O、重心G、垂心H三点共线且OG=GHACBDPENM解法一：利用平面向量基本定理例2.设P为△ABC内一点，且满足，则．典型例题法二：构造三角形的重心．取点D使得则点P为△ABD的重心，连接BD,·P·DABC例2.设P为△ABC内一点，且满足，则．变式训练：2.1已知P为△ABC内一点，且满足，则面积之比为．2.2设O为△ABC内一点，记，则．变式训练：2.1已知P为△ABC内一点，且满足，则面积之比为．解法一

4、：利用平面向量基本定理得由2.1已知P为△ABC内一点，且满足，则面积之比为．法二：构造三角形及重心．则P为　　　　的重心.令解法一：特例法．取O为△ABC的重心，则2.2设O为△ABC内一点，记，则．变式训练：ＣBＡODE2.2设O为△ABC内一点，记，则．由题知法二：过O分别作ＡＣ、ＡＢ的平行线OD、OE，交ＡＢ于D，交ＡＣ于E，则引申：设O为△ABC内一点，记=m,则分别为．2、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为平面ABC内A．内心B．垂心C．外心D．重心任一点，动点P满足等式则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）3、已

5、知G为△ABC的重心，令点G分别交AB，AC于P，Q两点，且，则，若PQ过．4、△ABC外接圆的圆心为O，且，则角．1、△ABC中三边长分别为O为△ABC所在平面内一点，若A．外心B．内心C．重心D．垂心，则O为△ABC的（）课后作业