江苏高考数学一轮复习《等 比 数 列 》教程学案

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1、第62课　等比数列1.等比数列的概念(B级要求).2.等比数列的通项公式及前n项和公式(C级要求).3.根据具体的问题情境中的等比关系解决相应的问题(B级要求).4.等比数列与指数函数的关系(A级要求).1.阅读：必修5第49～62页.2.解悟：①理解等比数列、等比中项的定义及符号语言；②写出等比数列的常用性质；③体会课本中推出等比数列通项公式和求和公式的方法.3.践习：在教材空白处，完成第61、62页习题第3、4、5、9题.　基础诊断　1.已知数列{an}为正项等比数列，a2＝9，a4＝4，则数列{an}的通

2、项公式为an＝　9×()n－2　.解析：设等比数列{an}的公比为q，则q2＝＝.又因为q>0，所以q＝，所以an＝9×.2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2a2＋3，S3＝2a3＋3，则公比q的值为　2　.解析：因为S2＝2a2＋3，S3＝2a3＋3，所以a1＝a1q＋3，a1(1＋q)＝a1q2＋3，所以q2－2q＝0.因为q≠0，所以q＝2.3.若等比数列{an}的通项公式为an＝4×31－n，则数列{an}是　递减　数列.(填“递增”或“递减”)解析：因为对∀n∈N*，an>0，＝＝<1

3、，所以an＋1

4、an

5、}是等比数列.解析：因为{an}是等比数列，所以＝q(q为定值).①＝＝q2，故①正确；②＝＝q2，故②正确；③＝＝，故③正确；④不一定是常数，故④不正确.　范例导航　考向❶等比数列基本量的计算例1　设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝　　Ｗ.　解析：显然公

6、比q≠1，由题意得解得或(舍去)，所以S5＝＝＝.等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝　32　.解析：设数列{an}的公比为q(q≠1)，则由题意得解得所以a8＝a1q7＝×27＝32.【注】等比数列基本量的计算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.考向❷等比数列的判定与证明例2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{

7、bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式.7解析：(1)由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝S2＝4a1＋2，所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3.又由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).因为bn＝an＋1－2an，所以bn＝2bn－1(n≥2)，故数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列.(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3×2n－1，所以－＝，故数列是首项为，公差为的等差数列，所以＝＋(n－1)×＝，故an

8、＝(3n－1)×2n－2.已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明：{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ的值.解析：(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，所以a1＝，λ≠1，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即(λ－1)an＋1＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝，因此{an}是首项为，公比为的等比数列，所以an＝·.7(2)由(1)得Sn＝1－.由S5＝得1－＝，即＝，解得λ＝－1.【注】(1)证明一

9、个数列为等比数列常用定义法(作比—代入—得结论)与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证.考向❸等比数列性质的应用例3　设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，记cn＝an＋bn.(1)求证：数列{cn＋1－cn－d}为等比数列；(2)已知数列{cn}的前4项分别为4，10，19，34，求数列{an}和{bn}的通项公式.解析：(1)由题意得cn＋1－cn－d＝

10、(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)－d＝(an＋1－an)－d＋(bn＋1－bn)＝bn(q－1)≠0，所以＝＝q.因为c2－c1－d＝b1(q－1)≠0，所以{cn＋1－cn－d}是首项为b1(q－1)，公比为q的等比数列.(2)方法一：由题意得数列{cn＋1－cn－d}的前3项分别为6－d，9－d，15－d，则(9－d)2＝(6－d)(15－d)，解得d＝3，所以q＝2.又因为