概率论基础1

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1、概率论基础1、概率基础知识1.1引言先做两个简单的试验：试验1:一个盒子中有十个完全相同的白球，从中任意摸出一个；试验2：盒子中有十个完全和同的球，其屮五个白球，五个红球。对于试验1,在球没有取出Z前，我们就能确定取出的必定是白球。这种试验，根据试验开始的条件应可以确定实验的结果。而对于试验2,在球没有収出之前，我们从试验开始时的条件不能确沱试验的结果（即取出的是口球还是黑球），也就是说一次试验的结果在试验Z前是无法确定的。对于后一种试验，似乎没冇什么规律可言，但是，实践告诉我们，若从盒子中反复多次取球

2、（每次取出一球，记录其颜色后放回），那么可以观察到这样的事实：试验次数n和当大时，出现白球的次数n白和出现黑球的次数n红是很接近的，其比A/n红会逐渐稳定于?，这个事实是可以理解的，因为盒子里的白球数等于红球数，从屮任意模出一个，取得白球或红球的“机会”应该是平等的。于是，我们面对着两种类型的试验。试验1代表的类型在试验Z前就能断定它的结果，这种试验所对应的现象叫确定现象。比如：”早晨，太阳从东方升起”“边长为a,b的矩形，其面积为ab”•••过去我们所学的各门课程基本上都是川来处理和研究这类确定现象的

3、。试验2所代表的类型，它有多于一种可能的结果，但在一次试验之前会出现那种结杲，应一次试验1佃言，没有规律可言，但是?quot;大数次”的重复这个试验，试验结果乂遵循某些规律（这些规律我们称之为“统计规律），这类试验叫做随机试验。英代表的现象叫随机现象.比如：”某地区的年降用量““打靶时弹着点离靶心的距离““电话交换台单位时间内收到的用户的呼唤次数“概率论和数理统计就是研究随机现彖的统计规律的数学分科。1.2随机事件与样本空间我们在前面已经介绍了随机试验，现在再进一步明确其含义。一个试验如果满足下述条件：

4、（1）试验可以在相同条件下巫复进行⑵试验的所有结果是明确知道的，并且不止一个（3）每次试验总是出现一个可能的结果，但在一次试验之前却不能确定会出现哪一个结果则称这样的试验是-个随机试验。简称试验。随机试验的每一个可能的结果，称为基木事件（样木点）。它们的全体称作样木空间。用Q表示。Q中的点（基本事件或称样本点）常用s表示。例如，在前面的试验2中:31={取得白球},32={取得红球},则Q={31、32}测量某地水温,令匸{测得的水温猫。C},则Q={1,2,…100}一个盒子中有I•个完全相同的球，分

5、别标以号码1,2,…，10,从屮任取一球。令上{取得的球的号码为i},则Q={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}在随机试验中，有时我们更加关心带有某些特征的事件是否发生。（比如在购买彩票时，是否屮奖，是否摸出红球等等）在随机试验屮，我们可以研究A={球的号码为6}B二{球的号码为偶数}C二{球的号码小于等于5}这些事件是否发生。其中A是一个基木事件，而B和C都是由多个基本事件组成的，称为复杂事件。无论是基本事件，还是复杂事件都叫随机事件。简称事件。习惯上舟大定字母A,B,C,…表示爭件。在试验屮

6、，若出现A中包含的基本事件3,则称作A发生。并记作3❷AQ表示全体基本爭件，而随机爭件是山具有某些特征的基木事件所组成，所以从集合论的观点看，一个随机事件不过是样本空间屮的一个子集。Q是由所有基本事件组成的。因而在任一次试验中，必然耍出现Q屮的一个基本事件5即3❷A,也就是说在试验中Q必然会发生。所以用Q表示一个必然事件。另外，①用来表示不可能事件。事件的关系与运算：1.如果事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A。记作"B1.如果冇AcB和B^A同时成立，则称事件A与事件B相等。记作A二B2.“事件

7、A与事件B中至少冇一个发生”这样的事件称作爭件A与事件B的和(并)。记作A+B3.“事件A与事件B同时发生”这样的事件称作事件A与事件B的积(交)。记作AB4.“事件A发生而B不发生”这样的事件称为A与B的差。记作A-B5.若事件A、B不能同时发生，即AB二①，则称A与B是互不相容事件(互斥事件)6.若A是一事件，令A=Q-A,贝喲〈°是a的对立事件(逆事件)。即a与瓦中必有一个发生,但不会同时发生。例：设A、B、C是Q中的随机事件。贝IJ事件“A与B发生，C不发生“可表示为：加。事件“三个事件中到少有

8、两个发生”可表示为：AB+BC+CA事件“三个事件中恰好有二个发生”可表示为：JfflC+ABC+ABC事件“三个事件中有不多于一个事件发生“”可表示为：++应注意的是其表示方法并不唯一！运算规律：交换律A+B二B+AAB=BA结合律A+(B+C)=(A+B)+C(AB)C=A(BC)分配律(A+B)C二AC+BC例：袋中有十个完全相同的球，分別标以1到1()的号码，从中任取一球，设A珂取得球的号码是偶数｝B=｛取得球的号码是奇数｝C=｛取