概率论基础知识1

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1、周圣武数理统计Tel:13852138385E-mail:zswcumt@163.com中国矿业大学理学院§1.6大数定律与中心极限定理1.大数定律2.中心极限定理本章是关于随机变量序列的极限理论。大数定律：对于随机变量序列描述其平均值在什么条件下以什么形式趋于稳定。中心极限定理：对于随机变量序列其部分和在什么条件下趋于什么分布。1.大数定律■切比雪夫Chebyshev不等式■几个常见的大数定律定义1依概率收敛于a，记为设随机变量序列有:则称，如果存在常数a，使得对于任意依概率收敛依分布收敛可以证明r-阶收敛1-阶收敛又称为平均收敛，2-阶收敛即为均方收敛。以概率1收敛四种收敛关系：以概率1

2、收敛或r-阶收敛依概率收敛依分布收敛定义设{Xn}为p维随机向量序列，数学期望E(Xn)存在■若对于任意的，都有则称{Xn}服从大数定律，其中■若则称{Xn}服从强大数定律。大数定律几个常见的大数定律定理1（切比雪夫大数定律）则即对任意的ε>0，设X1,X2,…是一列相互独立的随机变量序列，它们都有相同的数学期望证明由切比雪夫不等式得所以定理2（辛钦定律）且具有相同的数学期望辛钦设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，则辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要独立同分布就可以了。定理3（伯努利大数定律）P是事件A发生的概率，则对任给的ε>0，有设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，

3、即证明引入随机变量试验中A发生，试验中A不发生，显然且又由于各次试验相互独立，所以独立同分布,则由辛钦大数定律可得§5.2中心极限定理中心极限定理的客观背景:在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的综合影响.定理1记为的分布函数设相互独立同分布，其中为标准正态分布函数。记为例1某人要测量甲、乙两地之间的距离。限于测量工具，他分成1200段来测量。每段测量误差（单位：厘米）服从于（-0.5,0.5)上的均匀分布。求总距离误差的绝对值超过20厘米的概率。解设第k段的测量误差为且是独立同分布的随机变量。且由独立同分布的中心极限定理可得根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数

4、分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.则X1,X2,…,Xn相互独立，16只元件的寿命的总和为解设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000例2E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理,近似服从正态分布N(0,1)定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理）DeMoivre-Laplace设随机变量服从参数为的二项分布，则对任意的x，有推论：设随机变量当n充分大时有：这个公式给出了n较大时二项分布的概率计算方法。例3报童沿街向行人兜售报纸，假设每位行人买报的概率为0.2,且他们是否买报

5、是相互独立的。求报童向100位行人兜售之后，卖掉15－30份报纸的概率。解设报童卖掉报纸的份数为X，例4有100台车床彼此独立地工作。每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80％，求下列事件的概率。（1）任一时刻有70－86台车床工作。（2）任一时刻有80台以上车床工作。解设任一时刻工作的车床台数为X。例5某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？解设有X部分机同时使用外线，则有设有N条外线。由题意有由德莫佛-拉普拉斯定理得其中故N应满足条件设它们是互相独立的

6、随机变量，且都在区间(0,10)上一加法器同时收到20个噪声电压服从均匀分布，记求P{V>105}的近似值。例6解由定理1知例7利用⑴契比雪夫不等式⑵中心极限定理分别确定投掷一枚均匀硬币的次数，使得出现“正面向上”的频率在0.4到0.6之间的概率不小于0.9。解设X表示正面出现的次数（n次试验）⑴利用契比雪夫不等式由契比雪夫不等式所以由德莫佛-拉普拉斯定理得⑵利用中心极限定理ThankyouThankyou