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1、周圣武数理统计Tel:13852138385E-mail:zswcumt@163.com中国矿业大学理学院有些随机现象需要用几个随机变量来描述.◆在打靶时,弹着点的位置是由X,Y来确定的.◆飞机的重心在空中的位置是由X,Y,Z来确定的.5.多维随机变量一般地,设随机试验E的样本空间是设是定义在上的随机变量,由它们构成的一个维向量叫做维随机向量或维随机变量.以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.定义1设随机试验的样本空间是设和是定义在上的随机变量，则由它们构成的一个向量称为二维随机变量或二
2、维随机向量。定义2设是二维随机变量，对于任意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数，或联合分布函数。■二维随机变量及其分布函数将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数在点处的函数值就是随机点落在下面左图所示的,以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.分布函数的函数值的几何解释随机点落在矩形域内的概率为分布函数的性质当时，对于任意固定的，对于任意固定的，1.关于x和y单调不减当时，2.3.即关于x右连续关于y右连续即例1.设的分布函数为求常数的值及概率解由分布函数的性质得二维离散
3、型随机变量设所有可能取值为，则称定义4定义3是有限多对或可列无限多对，则称为二维离散型随机变量.为随机变量的分布律。性质：若二维随机变量的所有可能取值),(YX分布律的表格表示定义5（X，Y）的联合分布函数为：其中和式是对一切满足xi≤x，yj≤y的i,j来求和的。例1将骰子抛两次，X—第一次出现的点数，Y—第二次出现的点数，求（X,Y）的分布律。解XY123456123456例2一袋中有四个球,上面分别标有数字1,2,2,3.从袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以分别表示第一、二次取得的球
4、上标有的数字，求的分布律。解可能取值均为1,2,3.同理可得所以的分布律为01/61/121/61/61/61/121/60123123定义设二维随机变量的分布函数为若存在使得对任意实数总有则称为二维连续型随机变量,称为的概率密度,或称为随机变量和的联合概率密度。3.二维连续型随机变量①②f(x,y)的性质:③若在点连续，则有④,即连续型随机变量在某点的概率为0。G表示xoy平面上的区域,落在此区域上的概率相当于以G为底,以曲面为顶的曲顶柱体体积。⑤例3设二维随机变量的概率密度试求：⑴常数的值；⑵分
5、布函数⑶概率⑷概率解⑴由概率密度的性质得从而得⑵(X,Y)的分布函数⑷⑶将看作平面上随机点的坐标，有例4设二维随机变量的概率密度为试求概率解积分区域如右图所示4.两个重要分布（1）设平面区域D的面积为A，若随机向量（X，Y）的概率密度为则称随机向量（X，Y）在区域D上服从均匀分布。①均匀分布向平面上有界区域D上任投一质点，若质点落在D内任一小区域D1的概率与小区域的面积成正比，而与D1的形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在D上服从均匀分布.（2）若区域D内任一部分区域D1，其面积为A1，则有的二
6、维正态分布，记为若二维随机变量的概率密度为其中都是常数,且则称服从参数为②二维正态分布n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的分布函数为③高维随机变量性质对每一个变量右连续若n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的概率密度为④n维正态分布其中为正定矩阵，则称X服从n维正态分布。5.边缘分布的分布函数为分别的分布函数为设记和的边缘分布函数。，称为关于和同理可得问题：已知联合分布，怎样求X,Y的边缘分布?解的边缘分布函数为关于例1已知的分布函数为的边缘分布函数和求关于问各服从什么分布？同理，的概率密
7、度为和记所以，服从参数的指数分布，的指数分布。服从参数（1）离散型随机变量的边缘分布律设的分布律为则关于的边缘分布律为记作记作同理通常用以下表格表示的分布律和边缘分布律例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求X,Y的边缘分布律.解(X,Y)的可能取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)（2）连续型随机变量的边缘概率密度若是二维连续型随机变量,其概率密度为则:同理关于X和Y的边缘概率密度。分别是解例2上服从均匀分布,密度和的概
8、率密度为xy01y=xxy01y=x解例2.上服从均匀分布,密度和的概率密度为例3已知解例4已知解由对称性得的边缘概率密度由于例5设二维随机变量试求的边缘概率密度.解令，则有即同理2.条件分布函数1.条件分布律3.条件概率密度6.条件分布（1）二维离散型随机变量的条件分布设是二维离散型随机变量，其分布律为关于和的边缘分布律分别为设 ，我们考虑在事件已发生的条件下事件 发生的概率，由条件概率公式可得定义1设是二维离散型随机变量，对于固定的，若 ，则称为在的条件下的
