1.概率论基础知识

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1、应用数理统计AppliedMathematicalStatistics教学时数：32学分：2主讲：孙薇单位：理学院数学系课程的地位ImportanceoftheCourse对于理工科的研究生来讲，应用数理统计是最重要的基础课程之一。在数理统计中，同学们不仅可以学到处理随机性数据的具体的学科知识，而且还能受到严谨细密的思维方法和科学精神的熏陶。研究生课程与本科生有许多区别。比如难度大、进度快、讲课不再面面具到。要想尽快适应这种学习，加强预习是个好方法。这里讲的预习，不仅仅是课前5分钟翻翻书，而是安排专门的时间，按照指定

2、的进度有计划地预习新内容。预习中不能光阅读，还要钻研概念、推导证明、演算例题，查表计算，等等。坚持预习也是培养自学能力的好方法。第一章概率论基础知识概率论是数理统计的理论基础，为了使它们能更好地衔接起来，本章扼要地复习概率论的基本概念、定理与公式。一、事件及其运算第一章概率论基础知识1.基本事件：随机试验中，每个可能出现的结果；样本空间：全体基本事件组成的集合；事件：样本空间的子集，常用A、B等表示；事件发生、不可能事件、必然事件；互斥事件、对立事件。2.事件的运算（与集合运算对应）（1）交换律：A∪B=B∪A，AB

3、=BA；（2）分配率：A(B∪C)=AB∪AC，A(B-C)=AB-AC（3）结合律：A(BC)=(AB)C=ABC,A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C二、概率1.概率的定义第一章概率论基础知识设Ω为样本空间，F为所有事件的全体。如果定义在F上的函数P()满足如下性质，则对于F中的任意元素A，称P(A)为事件A发生的概率，P为F上的概率测度，(Ω,F,P)为概率空间。（1）0≤P(A)≤1（2）P(Ω)=1（3）对两两互斥的事件序列A1,A2,…Ak…，有第一章概率论基础知识二、概率（1）不可能事件的概率为

4、零P（Ø）=0;（2）P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB).2.概率的性质第一章概率论基础知识（1）条件概率定义：设A、B是两个随机事件，且P(A)＞0，则称事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。第一章概率论基础知识（4）独立性推广：设A1,A2,…,An为n个事件，若对任意的r(1

5、：设H1,H2,…,Hn为n个事件，若则为一个完备事件组。（2）全概率公式：设是一完备事件组，且对任意的i有P(Hi)>0，则对任一事件A，都有第一章概率论基础知识二、概率（3）Bayes公式：设是一完备事件组，且对任意的i有P(Hi)>0及P(A)>0，则4.全概率公式与Bayes公式第一章概率论基础知识二、概率例.用自动血压计计量血压。以C表示被测成人患高血压，B表示血压计显示高血压。假定P(C)=0.15，P(B

6、C)=0.95及P(B

7、)=0.05。那么若血压计显示高血压，被测成人患有高血压的概率有多大？第一

8、章概率论基础知识三、随机变量及其分布函数1.一维随机变量及其分布（1）随机变量定义：设(Ω,F,P)为概率空间，定义在Ω上的单值实函数X(w)称为随机变量。（2）离散型随机变量定义:若随机变量X的所有可能取的值是有限多个或可列无限多个,则称X为离散型随机变量。设X可能的取值为x1,x2,…,xn,…,记P{X=xi}=pi,i=1,2,...，则称{p1,p2,…}为X的概率函数或概率分布。三、随机变量及其分布函数第一章概率论基础知识例1.（单点分布）若随机变量X概率为1地取常数值c，即P(X=c)=1，则称X服从单

9、点分布或退化分布。此时X可被视为常数。例2.（两点分布）若随机变量X只取两个值，称其分布为两点分布。分别用0与1表示其取值，则分布可被表示为记作X~B(1,p).三、随机变量及其分布函数第一章概率论基础知识例3.（二项分布）设在一次试验中事件A发生的概率为p(0≤p≤1)，X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，则称X服从二项分布，记作X~B(n,p).例4.（泊松分布）设离散型随机变量X可能的取值为所有非负整数，且其中λ>0,则称X服从参数为λ的Poisson分布，记作X~P(λ).（3）连续型随机变量若X为随机

10、变量，若存在非负函数f(x)满足在R上的积分小于-∞，且则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的分布密度（简称密度）或概率函数。P(X≤x)=∫x−∞f(t)dt第一章概率论基础知识三、随机变量及其分布函数1.一维随机变量及其分布第一章概率论基础知识三、随机变量及其分布函数例1.（均匀分布）若随机变量X的密度函数为则称X服从[a,b]上的均匀分