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《(精品教育)2.1.1椭圆的定义与标准方程》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、椭圆的定义与标准方程1.如果椭圆上一点P到一个焦点的距离等于6,那么点P到另一个焦点的距离是.2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a=4,b=1,焦点在x轴上;(2)a=4,c=1,焦点在y轴上.5.如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( )A.(3,+∞)B.(-∞,-2)C.(3,+∞)∪(-∞,-2)D.(3,+∞)∪(-6,-2)解析:由于椭圆的焦点在x轴上,所以即解得a>3或-6<a<-2,故选D.答案:D6.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点
2、,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )A.2 B.6C.4D.12解析:由于△ABC的周长与焦点有关,设另一焦点为F,利用椭圆的定义,
3、BA
4、+
5、BF
6、=2,
7、CA
8、+
9、CF
10、=2,便可求得△ABC的周长为4.答案:C7.设M是椭圆+=1上一点,F1,F2为焦点,∠F1MF2=,则S△MF1F2=( )A.B.16(2+)C.16(2-)D.16解析:设
11、MF1
12、=r1,
13、MF2
14、=r2,则∴r1r2=64(2-).∴S△MF1F2=r1r2sin=16(2-).答案:C8.已知P为
15、椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则
16、PM
17、+
18、PN
19、的最小值为( )A.5B.7C.13D.15解析:由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心且
20、PF1
21、+
22、PF2
23、=10,从而
24、PM
25、+
26、PN
27、的最小值为
28、PF1
29、+
30、PF2
31、-1-2=7.答案:B9.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且
32、F1F2
33、=2,若
34、PF1
35、与
36、PF2
37、的等差中项为
38、F1F2
39、,则椭圆C的标准方程为( )A.+=1B.+=1或+=1C.+=1D.+=1或+=
40、1解析:由已知2c=
41、F1F2
42、=2,∴c=.∵2a=
43、PF1
44、+
45、PF2
46、=2
47、F1F2
48、=4,∴a=2.∴b2=a2-c2=9.故椭圆C的标准方程是+=1或+=1.答案:B10.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是________.解析:当椭圆的焦点在x轴上时,a2=m,b2=4,c2=m-4,又2c=2,∴c=1.∴m-4=1,m=5.当椭圆的焦点在y轴上时,a2=4,b2=m,∴c2=4-m=1,∴m=3.答案:3或511.P是椭圆+=1上的点,F1和F2是该椭圆的焦点,则k=
49、PF1
50、·
51、PF2
52、的最大值是_
53、_______,最小值是________.解析:设
54、PF1
55、=x,则k=x(2a-x),因a-c≤
56、PF1
57、≤a+c,即1≤x≤3.∴k=-x2+2ax=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴kmax=4,kmin=3.答案:4 312.椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大为12,则椭圆方程为__________________.解析:如图,当P在y轴上时△PF1F2的面积最大,∴×8b=12,∴b=3.又∵c=4,∴a2=b2+c2=25.∴椭圆的标准方程为+=1.
58、答案:+=113.已知椭圆的中心在原点,两焦点F1,F2在x轴上,且过点A(-4,3).若F1A⊥F2A,求椭圆的标准方程.解:设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).∵F1A⊥F2A,∴·=0,而=(-4+c,3),=(-4-c,3),∴(-4+c)·(-4-c)+32=0,∴c2=25,即c=5.∴F1(-5,0),F2(5,0).∴2a=
59、AF1
60、+
61、AF2
62、=+=+=4.∴a=2,∴b2=a2-c2=(2)2-52=15.∴所求椭圆的标准方程为+=1.1
63、4.求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解:(1)由焦距是4,可得c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a=+=8,所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.(2)由题意知,2a=26,即a=13,又因为c∶a=5∶13,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-52=144,因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为+=1
64、或+=1.