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1、第五章导数及其运用知识网络第1讲导数的概念及运算★知识梳理★1•用泄义求函数的导数的步骤.(1)求函数的改变量△)/;(2)求平均变化率型.(3)取Ar极限，得导数广(X。)二恤绥・心toAx2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f(x)在某一点(xo，y0)处的导数是过点(xo，yo)的切线的物理意义：若物体运动方程是s=s&),在点P(/0,s(t0))处导数的意义是仁to处的解析：斜率•；瞬吋速度.3•儿种常见函数的导数c=0(c为常数)；(xn)'=nxn1CneR)；I•(sinx)=;(cosx)=;(InxY=-;(log“x=-log“e；x兀(ev)=ex;(6z
2、v)=axIna・角军析:cos兀;一sin兀；4•运算法则①求导数的四则运算法则：(M±v)=u±v;(wv)=;—=(v0).解析:.V4-.V；学世V②复合函数的求导法则：/；(如)=八")0(X)或yx=yu-Ux★重难点突破★1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法2.难点：切线方程的求法及复合函数求导3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率，再利用函数的性质解决有关的问题.(1)平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。问题1.比较函数f(x)=2x与g(x)=3*,当xe[l,2]时，平均增长率的大小.点拨:解题规律技巧妙法总
3、结：计算函数的平均增长率的基本步骤是⑴计算自变量的改变量Ax=x2-x,⑵计算对应函数值的改变量Ay=/(x2)-/(x2)(3)计算平均增长率：型"2)-弘)Axx2-x}对于/(x)=r,^=^4=3,又对于g⑴=3爲^=44=8Ax.2—1Aa「2—1故当xe[l,2]时，g⑴的平均增长率大于/⑴的平均增长率.(1)求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则，问题2・已矢廿y=(1+cos2x)2,贝.点拨：复合函数求导数计算不熟练，其力与乂系数不一样也是一个复合的过程，有的同学忽视了，导致错解为:yr=-2sin2x(1+cos2x)・=2w(l+cos2兀)'=2w-(-s
4、in2x)-(2x)f=2u•(—sin2x)•2=-4sin2x(1+cos2x):.yr=-4sin2x(1+cos2x)・(2)求切线方程时已知点是否切点至关重要。问题3.求y=2x2+3在点P(l,5)和!2(2,9)处的切线方程。点拨：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是才在"1处的函数值；点0不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线.切忌直接将P,Q看作曲线上的点用导数求解。y=2x2+3,.°.yr=4x.yrx=]=4即过点P的切线的斜率为4,故切线为：y=4x+l.设过点Q的切线的切点为“Wo)，贝J切线的斜率为4勺,又k-沟_9,人
5、KpQ—，人0_乙故©=4兀o,.・.2%02一8兀0+6=0.x0=1,3。勺―2即切线"的斜率为4或12,从而过点Q的切线为:y=4x-1,y=12兀一15★热点考点题型探析★考点1：导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值［例1］设函数f⑴在兀。处可导，则1曲如也上如等于心toAxA・广（儿）D・-/（x0）B・—厂（心）【解题思路】由定义直接计算［解析］lim"5一山)7心一恤小。+(-山)1-心))“toAr心to(—Ax)【名师指引】求解本题的关键是变换出毘义式lim心T（）/（兀+心）-/（兀）Ar考点2•求曲线的切线方程［例2］(高明一中2009届高三上学期第四次月考)如
6、图，函数y=/(x)的图象在点户处的切线方程是y=-%+8，则门5)+八5)二•【解题思路】区分过曲线P处的切线与过P点的切线的不同，后者的P点不一定在曲线上.解析:观察图形，设P(5J(5))‘过P点的切线方程为y-/(5)=厂(5)(兀-5)即y=八5)兀+/(5)-5厂(5)它与y=-x+8重合，比较系数知:厂(5)=-1J⑸=3故/(5)+广(5)=2【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点.若是,可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标.题型3•求计算连续函数)，=fM在点兀=x()处的瞬时变化率[例3]•球沿一斜面从停止开始自由滚下，10s内其运动方程是S二S
7、⑴二f(位移单位：/7b时间单位：S),求小球在t=5时的加速度.【解题思路】计算连续函数尸fM在点"勺处的瞬时变化率实际上就是尸于⑴在点"勺处的导数.解析：加速度1/=limy(5+Ar)'5(5)=lim(5+Ar)2'52Ar->()ArAr=lim(10+At)=10m/s.Ar->0/.加速度v=2t=2X5=10m/s.【名师指引】计算连续函数y=/(x)在点x=处的瞬时变化率的基本步骤是1i十算A)’二/(兀。+心)—
