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《第五章_导数及其运用第3讲_导数的实际应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3讲导数的实际应用★知识梳理★利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是：优化问题函数模型解决数学问题优化问题的解★重难点突破★1.重点：利用于数学知识建立函数模型，借助于导数解决最优化问题。2.难点：建模的过程3.重难点：认真审题，建立数学模型，解决与函数有关的最优化问题.（1）关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题问题1：路灯距地平面为,一个身高为的人以的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v.点拨：利用导数的物理意义解决设路灯距地平面的距离为，人的身高为.
2、设人从点运动到处路程为米，时间为(单位：秒)，AB为人影长度，设为,则∵，∴∴,又,∴∵,∴人影长度的变化速率为.（2）利用导数处理最大（小）值问题是高考常见题型.问题2.（2006·江苏）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？OO1[剖析]设为,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：）于是底面正六边形的面积为（单位：）第10页共10页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com帐篷的体积为（单
3、位：）求导数，得令解得(不合题意，舍去),.当时，,为增函数；当时，,为减函数。所以当时,最大.答当为时，帐篷的体积最大.★热点考点题型探析★考点:最优化问题题型1.函数模型中的最优化问题例1.设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?【解题思路】由勾股定理建模.解析：设BD之间的距离为km,则
4、AD
5、=,
6、CD
7、=.如果公
8、路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.【名师指引】这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.例2.某产品按质量
9、分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?思路分析:在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”第10页共10页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在
10、函数的定义域内进行.解法一:设相同的时间内,生产第x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润y最大.2分依题意,得y=［8+2(x－1)］［60－3(x－1)］4分=－6x2+108x+378=－6(x－9)2+864(1≤x≤10),8分显然,当x=9时,ymax=864(元),即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元.10分解法二:由上面解法得到y=－6x2+108x+378.求导数,得y′=－12x+108,令y′=－12x+108=0,解得x=9.因x=9∈［1,10］,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内
11、,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.题型2:几何模型的最优化问题【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解.例3.(07上海春季高考)某人定制了一批地砖.每块地砖(如图1所示）是边长为米的正方形，点E、F分别在边BC和CD上，△、△和四边形均由单一材料制成，制成△、△和四边形的三种材料的每平
12、方米价格之比依次为3:2:1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能
