第3章《导数及其应用-3.4 导数在实际生活中的应用》导学案2

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1、第3章《导数及其应用-3.4.2》导学案(1)教学过程一、问题情境(教材第96页练习第2题)把长为100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形的面积之和最小？(图1)二、数学建构问题1　上面的问题我们在实际生活中经常会碰到类似问题，我们常常把它归结为最值问题，请同学们看一下这种解法解　设一段长为xcm，则另一段长为(100-x)cm，(x2-100x+5000).对称轴为x=50，开口向上，故当x=50时S有最小值.问题2　这种解法是一种什么方法？解　目标函数法.问题3　“目标函

2、数法”是处理最值问题的常规方法，采用此法的处理步骤是什么？解　一般引入一个变量将所求目标用函数形式建构函数表达式；根据题意写出引入变量的准确范围(即为定义域)；在所写定义域范围内求出函数的最值.问题4　请同学们看看这种解法是否完善呢？解　缺少定义域x∈(0，100).问题5　如果本题改成将分成的两段分别围成正方形和正三角形，则目标函数表达式是什么？解　S=S1+S2，x∈(0，100).问题6　本引例构建了一个二次目标函数最值问题，借助二次函数图象可以迎刃而解，但如果构建的函数是高次函数或其他函数时

3、，我们可以怎样来求最值呢？解　应用导数法.导数在实际生活中有着广泛的应用，利用导数法可以解决用料最省、利润最大、效率最高等最值问题.本课时我们就来学习导数在实际生活中的应用.三、教学运用【例1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为求导数，得。令，解得舍去）。于是宽为。

4、当时，<0；当时，>0.因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。【例2】圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令+4πR=0解得，R=，从而h====2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径

5、相等时，所用材料最省_x_x_60_60x建立数学模型x【例3】在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积．令＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3解法二：设箱

6、高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积．（后面同解法一，略）由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值四、课堂练习1.若水波的半径以2m/s的速度向外扩张，当半径为4m时，水波面的圆面积的膨胀率为　　　　m2/s. 解　水波的半径r=2t，圆的面积S=πr2=4πt2，则圆的面积的膨胀率S'=8πt.当半径为4m时，t=2

7、，则S'(2)=16π.五、课堂小结1.我们可用导数解决用料最省(即表面积最小)、功率最大、容积最大等实际问题.2.应用导数解决实际问题的解题步骤为:(1)引入变量将所求问题转化为目标函数；(2)写出目标函数的定义域；(3)在定义域范围内利用导数求出函数最值.