3.4导数在实际生活中的应用

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1、高中数学选修1-13.4导数在实际生活中的应用新课引入:导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题.1.几何方面的应用.2.物理方面的应用.3.经济学方面的应用.(面积和体积等的最值)(利润方面最值)(功和功率等最值)例1在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解:设箱底边长为xcm，箱子容积为V=x2h则箱高V´=60x－3x²/2令V´=0，得x=40,x=0(舍去)得V(40)=16000答：当箱底边长为x=40时,箱

2、子容积最大，最大值为16000cm3．当x∈(0，40)时V´(x)＞0；当x∈(40，60)时V´(x)＜0；∴V(40)为极大值，且为最大值．例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？hR解:设桶底面半径为R,因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值．答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省．333判断极值过程：。。。。例3强度分别为a，b的两个点光源A，B，它们间的距离为d，试问在连接这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就a＝8，b＝1，d＝3时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）．ABPX3－X解：如图，设

3、点P在线段AB上，且P距光源A为x，则P距光源B为3－x(0＜x＜3).P点受A光源的照度为（其中，k为比例常数）P点受B光源的照度为从而，P点的总照度为：因此，x=2时，I取得极小值，且是最小值．答：在连结两光源的线段AB上，距光源A为2处的照度最小．解得x＝2，故当0＜x＜2时，I´(x)＜0；当2＜x＜3时，I´(x)＞0．例4在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)；出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)；R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x).（1）设C(x)＝10－6x3－0.003x2＋5x＋1000，生产多少单位产品时，边际成本C´(x

4、)最低?（2）设C(x)＝50x＋10000，产品的单价p＝100－0.01x，怎样定价可使利润最大？解：（1）c´(x)＝3×10－6x2－0.006x＋5＝g(x)，g´(x)＝6×10－6x－0.006＝0，解得：x＝1000，而g(x)在x＞0上仅有一个极小值，故x＝1000时边际成本最低．（2）P(x)＝R(x)－C(x)＝x(100－0.01x)－(50x＋10000)＝－0.01x2＋50x－10000，x＝2500，而P(x)最大，此时P＝100－25＝75．答：生产1000个单位产品时，边际成本最低；当生产的单价为75时，利润最大．变式已知某商品生产成本C与产量q的

5、函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为：，求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入答：产量为84时，利润L最大．令，即，求得惟一的极值点利润＋五、回顾反思（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．（3）相当多有关最值的实际问题

6、用导数方法解决较简单．例5在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为ε，外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？R解：电功率P＝I2R，其中I＝为电流强度，则P＝[E/(R＋r)]2R＝由P´＝0，解得：R＝r．列表分析，当R＝r时，P取得极大值，且是最大值，最大值为P＝．答：当外电阻R等于内电阻r时，电功率最大，最大电功率是．四、课堂练习1．将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成________和________．2．在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为____时，它的面积最大．3．有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形

7、，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？4．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l＝AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.六、课外作业1．课本第96页第1，2，3，4题．2．补充练习：为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为