第3章《导数及其应用-34导数在实际生活中的应用》导学案2

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1、第3章《导数及其应用・3・4.2》导学案⑴教学过程一、问题情境(教材笫96页练习第2题)把长为100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形的面积之和最小？ACB(图1)二、数学建构问题1上面的问题我们在实际生活中经常会碰到类似问题，我们常常把它归结为最值问题，请同学们看一下这种解法解设一段长为兀cm,则另一段长为(100y)伽，(x2-100x+5000).对称轴为“50,开口向上，故当兀=50时S有最小值.问题2这种解法是一种什么方法？解目标函数法.问题3“目标函数法”是处理最值问题的常规方法

2、，采用此法的处理步骤是什么？解一般引入一个变量将所求目标用函数形式建构函数表达式;根据题意写出引入变量的准确范围(即为定义域)；在所写定义域范围内求出函数的最值.问题4请同学们看看这种解法是否完善呢？解缺少定义域用(0,100).问题5如果本题改成将分成的两段分别围成正方形和正三角形，则li标函数表达式是什么？解S=S[+S2，xG(0,100).问题6本引例构建了一个二次目标函数最值问题，借助二次函数图彖可以迎刃而解，但如果构建的函数是高次函数或其他函数时，我们可以怎样来求最值呢？解应用导数法.导数在实际生活屮有

3、着广泛的应用，利用导数法可以解决用料最省、利润最大、效率最高等最值问题•本课时我们就來学习导数在实际生活中的应用.三、教学运用【例1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现讣你设计一张如图1.4・1所示的竖向张贴的海报，要求版心而积为上、下两边各空2dm,左、右两边各空ldm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？128解：设版心的高为xdim则版心的宽为——dg此时四周空口而积为xi2X5i2S(x)=(x+4)(—+2)-128=2%+一+&x>0xx512求导数，得S(x)=2—―。JT512

4、令S(x)=2——=0,解得无=16(兀=一16舍去)。x于是宽为—=8ox16当xe(0,16)时，S(x)<0；当xg(16,+oo)时，5(%)>0.因此，x=16是函数S(Q的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm,宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm,宽为8dm时，海报四周空白面积最小。【例2】圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省?解：设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积S=27iRh+2;rR2由V=nR2h,得/?=7°,贝!J7

5、lR~V.2VS(R)=2nR—7+2nR=——+2兀2ttR2R2V令sf(R)=——+4t[R=0R・VV解得，Z丈，从而f即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值.答：当罐的高与底直径相等吋，所用材料最省.I—X—边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大?最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm,则箱高h=—~cm,得箱子容积2V(x)=x2h=(0

6、,2并求得V(40)=16000由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16000是最大值.X60-2X空IZ答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3解法二：设箱高为xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱子容积V(x)=(60—2x)2兀(0

7、即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值.四、课堂练习1.若水波的半径以2加/s的速度向外扩张，当半径为4加时，水波面的圆面积的膨胀率为mis.解水波的半径广=2r,圆的面积S=7rr2=47it2f则圆的面积的膨胀率S'=S7rt.当半径为4加时,r=2,贝l」S'(2)=16兀五、课堂小结1.我们可用导数解决用料最省（即表面积最小）、功率最大、容积最大等实际问题.2.应用导数解决实际问题的解题步骤为:（1）引入变量将所求问题转化为目标两数；（2）写出目标函数的定义域；（3）在定义

8、域范围内利用导数求出函数最值.