第3章《导数及其应用-34导数在实际生活中的应用》导学案1

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1、第3章《导数及其应用-3.4.0导学案教学过程一、数学运用【例1】如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰其屮O为圆心B在圆的直径上，C,D,E在圆周上.(1)设ZBOC=征地面积记为/*(&),求/(&)的表达式;(2)当&为何值时，征地而积最人？解：(1)连接OE,可得0E=R,OB=RcosQBC=；&G0,-I2丿：•.f(&)=2S梯形obce=炉(sin&cos&+cos&)(2)/(6>)=-/?2(2sin6>-l)(sin6>+1).1(兀、令广(&)=0/.sin+1=0(舍)或者s

2、in&=—VOe.0,—2I2丿・・・当处(0,f)，广(&)>0,06(第)/(&)v0,o62・••&=£时J9)取得最大.答：〃二彳时，征地面积最大.3【例2】若曲线y^+ax+b在点(0,b)处的切线方程是》)汁1二0,求G,加勺值.(见学生用书P71)［处理建议］学生口答，教师板书.［规范板书］解由题意知点(0,方)在曲线/O)=y=/+ar+b_h,又因为;/=2x+d,所以广(0)=a=k=l,又(0,b)在x・y+l=0上,所以b=l,所以a=l,b=l.变式已知函数/⑴=2疋+做与g(x)"『+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有公切线，求心)，g

3、(Q的解析式.(见学生用书P71)［规范板书］f(x)=6,+Q,gx)=2bx.因为在点P处心)和g⑴有公切线，所以几2)=炉(2),即6x22+«=2Z?x2,即24+cz=4Z?.①因为/(兀)过点P(2,0),所以0=2x2‘+2g即。二8.②又因为g⑴过点P(2,0),所以0=/?x22+c,即4b+c=0.联立⑦②③，解得a=・8,b=4,c=-16.故/⑴二2_?&,g(x)=4x2-16.【例2]如交管部门遵循公交优先的原则,在某路段开设了一条仅供车身长为10m的公共汽车行驶的专用车道.据交管部门收集的大量数据分析发现，该车道上行驶着的前、后两辆公共汽

4、车间的安全距离d(m)与车速v(km/h)之间满足二次函数关系现己知车速为15km/h时，安全距离为8m;车速为45km/h时，安全距离为38m;出现堵车状况时，两车安全距离为2m.(1)试确定〃关于v的函数关系d=j[v)⑵车速y(knVh)为多少时，单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多，最多是多少辆?解(1)由题设可令所求函数关系f(v)=av+b^c.由题意得v=0时,d=2;v=15时0=8;v=45时,d=38(c=2f则<^x152+15/?+c=8,L/x452+45/?+c=38.解得:心吉,b#,c=2所以d关于v的函数关系为心扫2+gv+2(

5、iN0)⑵两车间的距离为d(m),则一辆车占去的道路长为d+10(m).设1小时内通过该车道的公共汽车数量为y辆,宀lOOOvV1000(—亦+12)由y'=v2vo,解得尸30(75+5+12)2当oo；当v>30时jvo.于是函数)-在区间(0,30)上递增，在区间(30,+oo)上递减，75+5+12因此v=30时函数取最大值)=1000答:汽车车速定为30km/h时，每小时通过这条专用车道的公共汽车数量最多，能通过1000辆二、补充练习【例1】如某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分)

6、，形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个B底边)，已知AB=2km,BC=6km,AE=BF=4km,其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线段.试求该高科技工业园区的最大面枳.解：以A为原点，所在直线为兀轴建立直角坐标系如图,则4(0,0)/(2,4),由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y=ax2(a>0),由4=必2得，Q=l,・•・AF所在抛物线的方程为y=又E(0,4),C(2,6)，•:EC所在直线的方程为y=x+4f设Pgx2)(0

7、#+4兀(0<兀<2),・・・s'=—3干+兀+4,令S'=o得兀二《或x=—1(舍去负值),当兀变化吋，S'和S的变化情况如下表：(0,43§+0-T极大值1042714104由表格可知，当兀=一时，S取得最大值——•327104答：该高科技工业园区的最大而积丄.27三、课堂小结1.函数/⑴在点仇，、心）））处的导数/Go）即为曲线y=/（x）在（心，/Uo））处的切线的斜率.2.导数的物理意义:位移S⑴的导数5（/）即为瞬时速度，速度呦的导数『⑴即为瞬时加速■3.常见函数的求导公式及导数运算法则在知识梳理部分己经复习，希望同学记熟.