《1.4 导数在实际生活中的应用》导学案1

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1、第14课时　导数在实际生活中的应用(1)　教学过程一、问题情境(教材第38页练习2)把长为100cm的铁丝分成两段,各围成正方形,怎样分法,能使两个正方形的面积之和最小?(图1)二、数学建构问题1　我们在实际生活中经常会碰到和上面相类似的问题,我们常常把它归结为最值问题,请同学们思考一下如何解决.[3]学生甲　解　设一段长为xcm,则另一段长为(100-x)cm,[来源:Zxxk.Com]故S=S1+S2=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。(x2-100x+5000).[来源:学科网]对称轴为x=50,开

2、口向上,故当x=50时S有最小值.问题2　学生甲提供的解法是一种什么方法?解　目标函数法.问题3　“目标函数法”是处理最值问题的常规方法,采用此法的处理步骤是什么?[4]解　1.一般引入一个变量,将所求目标用函数形式建构函数表达式.2.根据题意写出引入变量的准确范围(即为定义域).3.在所写定义域范围内求出函数的最值.问题4　请同学们看看学生甲提供的解法是否完善.[5]解　缺少定义域x∈(0,100).问题5　如果本题改成将分成的两段分别围成正方形和正三角形,那么目标函数表达式是什么?解　S=S1+S2=错误！未找到引用源。+错误！未

3、找到引用源。·错误！未找到引用源。,x∈(0,100).问题6　本引例构建了一个二次目标函数最值问题,借助二次函数图象可以迎刃而解,但如果构建的函数是高次函数或其他函数时,我们可以怎样来求最值呢?解　应用导数法.导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数法可以解决用料最省、利润最大、效率最高等最值问题.本节课我们就来学习导数在实际生活中的应用.三、教学运用【例1】　如图,在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A,B在直径上,点C,D在圆周上.若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子

4、的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形罐子的体积最大?最大体积是多少?(1)　(2)(例1)[处理建议]　设圆柱的高为x,或者连结OC并设∠BOC=θ,分别建立目标函数.[规范板书]　解　解法1:设圆柱底面半径为r,高为x,体积为V.由AB=2错误！未找到引用源。=2πr,得r=错误！未找到引用源。,所以V=πr2h=错误！未找到引用源。(900x-x3),其中0

5、0错误！未找到引用源。)上是增函数,在(10错误！未找到引用源。,30)上是减函数.所以当x=10错误！未找到引用源。时V取得最大值,V的最大值为错误！未找到引用源。.故取BC为10错误！未找到引用源。cm时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为错误！未找到引用源。cm3.解法2:连结OC.设∠BOC=θ,圆柱底面半径为r,高为h,体积为V,则圆柱的底面半径为r=错误！未找到引用源。,高h=30sinθ,其中0<θ<错误！未找到引用源。.所以V=πr2h=错误！未找到引用源。·sinθcos2θ=错误！未找到引用源。(sinθ-sin3

6、θ),设t=sinθ,则V=错误！未找到引用源。(t-t3).由V'=错误！未找到引用源。·(1-3t2)=0,得t=错误！未找到引用源。,因此V=错误！未找到引用源。(t-t3)在错误！未找到引用源。上是增函数,在错误！未找到引用源。上是减函数.所以当t=错误！未找到引用源。时,即sinθ=错误！未找到引用源。,此时BC=10错误！未找到引用源。时,V的最大值为错误！未找到引用源。cm3.故取BC为10错误！未找到引用源。cm时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为错误！未找到引用源。cm3.[题后反思]　在选择自变量时,要考虑当取不

7、同自变量时函数的解析式会不一样,研究最值的过程也会有区别,但结果是一样的.　(例2)【例2】　(教材第36页例3)如图所示的电路中,已知电源的内阻为r,电动势为E,当外电阻R多大时,才能使电功率最大?最大电功率是多少?(见学生用书P28)[处理建议]　由学生板演.[规范板书]　解　电功率P=I2R,其中I=错误！未找到引用源。为电流强度,所以P=错误！未找到引用源。R=错误！未找到引用源。(R>0).则P'=错误！未找到引用源。,令P'=0,所以R=r.[来源:学科网ZXXK]当R0;当R>r时,P'<0.所以当R=r时

8、,P取极大值,且是最大值,所以Pmax=错误！未找到引用源。.答　当外电阻R等于内电阻r时,电功率最大,最大电功率为错误！未找到引用源。.[6][题后反思]　应用导数法解决实际生活中的最值问题的解题步骤:第一步,引入变量