《1.4 导数在实际生活中的应用》教学案1

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1、《1.4导数在实际生活中的应用》教学案学习目标：1.通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值．2.通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．学习重难点：教学重点如何建立数学模型来解决实际问题教学难点如何建立数学模型来解决实际问题【新课引入】导数在实际生活中有着广泛的应用，利用导数求最值的方法，可以求出实际生活中的某些最值问题.1.几何方面的应用(面积和体积等的最值)2.物理方面的应用(功和功率等最值)3.经济学方面的应用(利润方面最值

2、)【知识扫描】1．生活中的优化问题常见类型：费用最少省问题；利润最大问题；面积、体积最大问题.2．导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大(小)值问题，一般应先建立好目标函数后，把问题转化为上一节研究的内容.二、例题选讲：例1.在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？x60cm解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积.令＝0，解得x=0(舍去)，x=40，并求得V(40)=16000由题意可知，当

3、x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积．(后面同解法一，略)由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处.事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值.变式1：在长为80cm宽50cm的长方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无

4、盖的长方体箱子，箱子的高是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？变式2：在长为80cm宽50cm的长方形铁片，做成一个无盖的长方体箱子，使箱子的容积尽可能大，箱子的高是多少？例2．某种圆柱形饮料罐的容积一定，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令+4πR=0解得，R=，从而h====2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式3：当圆柱形金属饮料罐

5、的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S=2+h=V(R)=R=)=0.例3:已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为，求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入利润令，即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大.【归纳】利用导数解决优化问题的基本思路：【课内练习】练习：1、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计

6、一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为.上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm．如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？，则有　xy=128，(1)另设四周空白面积为Ｓ，则(2)由(1)式得：代入(2)式中得：解法二：由解法(一)得2．已知:某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为，价格p与产量q的函数关系式为.求产量q为何值时，利润L最大？3．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加10元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的各种

7、维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大【归纳反思】解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示：1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；(2)求函数的导数，解方程；(3)比较函数在区间端点和使的点的数值的大小，得到最大(小)值

8、.2.解决生活中的优化问题应当注意的问题：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大(小