导数在实际生活中的应用学案1

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1、第13课时　导数在实际生活中的应用(1)　教学过程一、问题情境(教材第96页练习第2题)把长为100cm的铁丝分成两段,各围成正方形,怎样分法,能使两个正方形的面积之和最小?(图1)二、数学建构问题1　上面的问题我们在实际生活中经常会碰到类似问题,我们常常把它归结为最值问题,请同学们看一下这种解法解　设一段长为xcm,则另一段长为(100-x)cm,故S=S1+S2=+=(x2-100x+5000).对称轴为x=50,开口向上,故当x=50时S有最小值.问题2　这种解法是一种什么方法?解　目标函数法.问题3　“目标函数法”是处理最值问题的

2、常规方法,采用此法的处理步骤是什么?解　一般引入一个变量将所求目标用函数形式建构函数表达式;根据题意写出引入变量的准确范围(即为定义域);在所写定义域范围内求出函数的最值.问题4　请同学们看看这种解法是否完善呢?解　缺少定义域x∈(0,100).问题5　如果本题改成将分成的两段分别围成正方形和正三角形,则目标函数表达式是什么?解　S=S1+S2=+·,x∈(0,100).问题6　本引例构建了一个二次目标函数最值问题,借助二次函数图象可以迎刃而解,但如果构建的函数是高次函数或其他函数时,我们可以怎样来求最值呢?解　应用导数法.导数在实际生活

3、中有着广泛的应用,利用导数法可以解决用料最省、利润最大、效率最高等最值问题.本课时我们就来学习导数在实际生活中的应用.三、教学运用(例1图(1))【例1】　如图(1),在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A,B在直径上,点C,D在圆周上.若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取才能使做出的圆柱形罐子的体积最大?并求最大体积.(见学生用书P66)[处理建议]　设圆柱的高为x,或者连结OC并设∠BOC=θ,分别建立目标函数.[规范板书]　解法一　

4、设圆柱底面半径为r,高为x,体积为V.由AB=2=2πr,得r=,所以V=πr2h=(900x-x3),其中0

5、s2θ=(sinθ-sin3θ),设t=sinθ,则V=(t-t3).由V'=(1-3t2)=0,得t=±(负值舍去),因此V=(t-t3)在上是增函数,在上是减函数.所以当t=时,即sinθ=时,此时BC=10,V取最大值,V的最大值为.故取BC为10cm时,做出的圆柱形罐子的体积最大,最大体积为cm3.[题后反思]　取不同的自变量得到的函数的解析式会不一样,研究最值的过程也会有区别.　(例2)【例2】　(教材第94页例3)在如图所示的电路中,已知电源的内阻为r,电动势为ε,当外电阻R多大时,才能使电功率最大?最大电功率是多少?(见学生

6、用书P67)[处理建议]　由学生板演.[规范板书]　解　电功率P=I2R,其中I=为电流强度,所以P=R=(R>0).则P'=,令P'=0,解得R=r.当R0;当R>r时,P'<0.所以当R=r时,P取极大值,且是最大值,所以Pmax=.故当外电阻R等于内电阻r时,电功率最大,最大电功率为.[2][题后反思]　应用导数法解决实际生活中的最值问题的解题步骤:引入变量将所求问题转化为目标函数;写出目标函数的定义域;在定义域范围内利用导数法求出函数最值;作答.四、课堂练习1.若水波的半径以2m/s的速度向外扩张,当半径为4m时,水

7、波面的圆面积的膨胀率为　　　　m2/s. 解　水波的半径r=2t,圆的面积S=πr2=4πt2,则圆的面积的膨胀率S'=8πt.当半径为4m时,t=2,则S'(2)=16π.2.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为.解　设正三角形的边长为a,直棱柱高为h,则V=a2h,所以h=,则S=a2+3a·=a2+,S'=a-,由S'=0得a=.当0时,S'>0.所以当a=时,S取得最小值.(第3题)3.某班举行活动,需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,它的版心面积为12

8、8dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?解　设版心一边为xdm,则另一边为dm,所以海报四周的空白面积S(x)=(x+2)-128.令