1.4导数在实际生活中的应用

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1、3.2.3----导数的实际应用1110姓名【自主梳理】1.实际应用题(1)解题的一般步骤：理解题意，______________，使用导数方法求解函数模型，根据求解结果回答实际问题．(2)注意事项：注意实际问题的________；实际问题中的函数多数是单峰函数(即在定义域内只有一个极值点的函数)，这样的极值点也是________.(1)建立函数模型　(2)定义域　最值点【典例解析】例1．若做一个容积为256的方底无盖水箱，为使它的用料最省(全面积最小)，则它的高为________．4　【解析】设高

2、为h，底边长为x，则x2h＝256，所以S＝4hx＋x2＝4x·＋x2＝＋x2，S′＝－＋2x.令S′＝0，解得x＝8，此时h＝4，S取最小值．例2．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm时，容器的容积最大．10　【解析】设容器的高为xcm，即小正方形的边长为xcm，该容器的容积为V，则V＝(90－2x)(48－2x)x＝4(x3－69x2＋1080x)，0

3、x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)，当00；当10

4、示成关于θ的函数f(θ)；(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．(例3)【解答】(1)作AH⊥CF于点H，则OH＝cosθ，AB＝2OH＝2cosθ，AH＝sinθ，则六边形的面积为f(θ)＝2×(AB＋CF)×AH＝(2cosθ＋2)sinθ＝2(cosθ＋1)sinθ，θ∈.(2)f′(θ)＝2[－sinθsinθ＋(cosθ＋1)cosθ]＝2(2cos2θ＋cosθ－1)＝2(2cosθ－1)(cosθ＋1)．令f′(θ)＝0，因为θ∈，所以cosθ＝，即θ＝.当θ

5、∈时，f′(θ)>0，所以f(θ)在上单调递增；当θ∈时，f′(θ)<0，所以f(θ)在上单调递减．所以当θ＝时，f(θ)取最大值f＝2sin＝.答：当θ＝时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．练习：1.若做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高应为________cm.　【解析】设圆锥的高为xcm，则底面半径为，其体积V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)，V′＝π·(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜

6、20时，V′＜0，所以当x＝时，V取最大值．2.某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段(图中的AB，DC)和两个半圆构成，设AB＝xm，且x≥80.(1)若内圈周长为400m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？(2)若景观带的内圈所围成区域的面积为m2，则x取何值时，内圈周长最小？【解答】设题中内圈中两个半圆形的半径为rm，矩形ABCD的面积为Sm2，内圈周长为cm.(1)由题意知S＝2rx，且2x＋2πr＝400，即x＋πr＝200，于是S＝2rx＝·x·(πr)≤＝

7、，当且仅当x＝πr＝100时，等号成立．答：当x＝100时，矩形ABCD的面积最大．(2)由题意知2rx＋πr2＝，于是x＝－·r.从而c＝2x＋2πr＝2＋2πr＝＋πr.因为x≥80，所以－·r≥80，即(πr)2＋160·πr－22500≤0，解得－250<πr≤90，所以0

8、互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横