《1.4 导数在实际生活中的应用》同步练习

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1、《1.4课时作业》同步练习一、填空题1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为S＝t3－2t2，则速度为零的时刻是________秒末．【解析】　S′＝4t2－4t，令S′＝0，得t＝0或t＝1，∴速度为0的时刻是0秒末或1秒末．【答案】　0或12．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．【解析】　设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x＋)(x＞0)，所以y′＝2(1－)．令y′＝0，得x＝200或x＝－200(舍去)，当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.故当x

2、＝200时，y取得最小值800，即矩形广场的周长至少为800米．【答案】　8003．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为________．【解析】　设该漏斗的高为xcm，则底面半径为cm，其体积为V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)，则V′＝π(400－3x2)．令V′＝0，解得x＝或x＝－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0，所以当x＝时，V取得最大值．【答案】　cm4．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率

3、为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，0.048))，则存款利率定为________时，银行可获得最大利润．【解析】　设利润为y，则y＝kx2(0.048－x)＝0.048kx2－kx3，∴y′＝0.096kx－3kx2.令y′＝0得x1＝0(舍去)，x2＝0.032.【答案】　0.0325．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为________．【解析】　设直棱柱的底面边长为a，高为h，依题意，a2·h＝V，∴ah＝.因此表面积S＝3ah＋2·a2＝＋a2.∴S′

4、＝a－，由S′＝0，得a＝.易知当a＝时，表面积S取得最小值．【答案】　6．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.则最大毛利润为________元．(毛利润＝销售收入－进货支出)【解析】　设毛利润为L(p)，则题意知：L(p)＝pQ－20Q＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以，L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝

5、30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．【答案】　230007．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．为了使全程运输成本最小，轮船行驶速

6、度应为________海里/时．【解析】　设轮船行驶速度为x海里/时，运输成本为y元．依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，x∈(0，35]．则y′＝300－，x∈(0，35]．又当0＜x≤35时，y′＜0，所以y＝＋300x在(0，35]上单调递减，故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．【答案】　35图1－4－28．如图1－4－2所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形(其中一边长为x)，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当

7、这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大．【解析】　由题意可知，正六棱柱的底面边长为1－2x，高为xtan60°＝x，所以六棱柱的体积为V(x)＝6×(1－2x)2×x＝(4x3－4x2＋x)(00；当x∈(，)时，V′(x)<0，所以x＝时函数取得极大值，也是最大值．此时正六棱柱的底面边长为.【答案】　二、解答题图1－4－39．要做成一个截面为等腰梯形的水槽，下底长和腰都为a，如图1－4－

8、3，则斜角θ为多大时，水槽的流量最大？【解】　设横截面面积为S，则S＝(AB＋ED)·CD，AB＝a＋2acosθ，CD＝asinθ，S＝[a＋(a＋2acosθ)]·asinθ＝a2sinθ(1＋cosθ)(0＜θ＜)．又S′＝a2(2cos2θ＋cosθ－1