第三篇导数及其应用第3讲导数的应用(二)

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1、01函数的极值第3讲导数的应用（二）［2013年高考会这样考】1.利用导数求函数的极值.2.利用导数求函数闭区间上的最值.3.利用导数解决某些实际问题.【复习指导】本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用,会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决.复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.KAOJIZIZHUDAOXUE》考基自主导学基础梳理（1）判断冗⑹是极值的方法一般地，当函数/U）在点心处连续时，①如果在Xo附近的左侧f（x）＞0,右侧f（X）vo,那么几切）是极大值；②如果在加附近的左侧f（x）vo,右侧f（兀）＞0,那么/Uo）是极小值.（2）求

2、可导函数极值的步骤①求f（X）；②求方程f（兀）=0的根；③检查f（工）在方程f（工）=0的根左右值的符号.如果左正右负,那么/U）在这个根处取得哒值；如果左负右正，那么/U）在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点・2.函数的最值为函数的最大值;若函数怎）在⑷列上单调递减，则弘）为函数的最大值，爪方）为函数的最小值.（3）设函数心）在S，刃上连续，在S，可内可导,求血：）在s，b］上的最大值和最小值的步骤如下：①求心）在⑺，方）内的极值；②将/U）的各极值与血），加）比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

3、（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实中顚之间的函数关系式y=f（x）；（2）求函数的导数f（x）,解方程f（x）=0；（3）比较函数在区间端点和f（兀）=0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；（4）回归实际问题作答.KAOXIANGTANJIUDAOXI02》考向探究导析考向一函数的极值与导数ex【例1】》（2011・安徽）设血）=朮？，其中a为正实数.⑴当4=扌时，求./U）的极值点；（2）若/U）为R上的单调函数，求a的取值范围.考向二函数的最值与导数【例2】》已知a为实数，且函数f（x）=（x2-4）（x-a）・⑴求导函数f（X）；（2

4、）若f（-1）=0,求函数心）在［一2,2］上的最大值、最小值.考向三用导数解决生活中的优化问题【例3】►（2011-江苏）请你设计一个包装盒.如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合于函申巔為忑錚成一个正四棱柱形状的包装盒•E、尸在人〃上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x（cm）.⑴若广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）＜大,试问x应取何值？⑴在闭区间［a,盯上连续的函数/（兀）在［a,盯上必有最大值与最尘值.（2）若函数沧）在⑷刃上单调递增，则弘）为函数的最小

5、值，f（b）助禽徽博•二（2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.两个注意(!).洼意实瓯回.<+敢数嵐乂城够确定.....(2)一在实歴冋璧中上一如果函数査区回内只有二个极值点—那Z星要根捱实怔虑义判處最一尢值还長最小值用可丄一丕必再占竭点曲函一数值比一较:…三个防范(1)求函一数最值时一丕可趨当然地认为-极值点就最最值点，…要通过如真氏较一才能王线设丄一方一外洼意函数一最值悬个二整体二概念，…西极值昱个上旬部二概念―(2疋_.feo)=QAy=Jlx)^x=xo极值的眈丕_充分也丕必要一条件上.丸①卫亍址在一工亍Q处更得极小

6、-值，…但在莎一亍-Q-处丕可导丄一②/匕…⑹亍必…但2=®丕屋4刃亍£的-扱值-点.•…(3).若』.=卫卫.可支儿则工…血)土Q產A刃在滋亍刊处取扱值的必妥条件―双基自测1.(2011*福建)若a>0,方>0,且函数f(x)=4x3—ax2—2bx+2在工=1处有极值，则血的最大值等于().得极小值.解析f(x)=3x2-6x=3x(x-2)当x<0时，f(兀)>0,当0<兀<2时，f(x)<0,当x>2时，f(x)>0,故当x=2时取得极小值.兀?+a5.若函数yu)=可〒在兀=1处取极值，贝！U=.6、(2011-辽宁)设函数力兀)=兀+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(

7、l,0),且在P点处的切线斜率为2⑴求Q、D的值；(2)证明：f(x)^2x-2.8、如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的宽度。成正比，与它的厚度〃的平方成正比，与它的长度2的平方成反比.(1)将此枕木翻转90。(即宽度变为了厚度)，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？(2)现有一根横截面为半圆(半圆的半径为/?)的柱形木材,用它截取成横截面为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大?A.2B.3C.6D.