高考数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第3讲 导数的应用(二)教案 理 新人教版

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1、第3讲 导数的应用(二)【2013年高考会这样考】1.利用导数求函数的极值.2.利用导数求函数闭区间上的最值.3.利用导数解决某些实际问题.【复习指导】本讲复习时,应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用,会将一些实际问题抽象为数学模型,从而用导数去解决.复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.基础梳理1.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0

2、)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x);②求方程f′(x)=0的根;③检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值,如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.2.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.(3

3、)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:①求f(x)在(a,b)内的极值;②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;(4)回归实际问题作答.两个注意

4、(1)注意实际问题中函数定义域的确定.(2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.三个防范(1)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论;另外注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念.(2)f′(x0)=0是y=f(x)在x=x0取极值的既不充分也不必要条件.如①y=

5、x

6、在x=0处取得极小值,但在x=0处不可导;②f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.(3)若y=f(x)可导,则f′(x0)=0

7、是f(x)在x=x0处取极值的必要条件.双基自测1.(2011·福建)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于(  ).A.2B.3C.6D.9解析 f′(x)=12x2-2ax-2b,由函数f(x)在x=1处有极值,可知函数f(x)在x=1处的导数值为零,12-2a-2b=0,所以a+b=6,由题意知a,b都是正实数,所以ab≤2=2=9,当且仅当a=b=3时取到等号.答案 D2.已知函数f(x)=x4-x3+2x2,则f(x)(  ).A.有极大值,无极小值B.有极大值,有极小值C.有极小

8、值,无极大值D.无极小值,无极大值解析 f′(x)=x3-4x2+4x=x(x-2)2f′(x),f(x)随x变化情况如下x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)-0+0+f(x)0因此有极小值无极大值.答案 C3.(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(  ).A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件解析 y′=-x2+81,令y′=0解得x=9(-9舍去).当0<x<9时,y′>0;当x>9时,y′<0,

9、则当x=9时,y取得最大值,故选C.答案 C4.(2011·广东)函数f(x)=x3-3x2+1在x=________处取得极小值.解析 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)当x<0时,f′(x)>0,当0<x<2时,f′(x)<0,当x>2时,f′(x)>0,故当x=2时取得极小值.答案 25.若函数f(x)=在x=1处取极值,则a=________.解析 ∵f(x)在x=1处取极值,∴f′(1)=0,又f′(x)=,∴f′(1)==0,即2×1×(1+1)-(1+a)=0,故a=3.答案 3  考向一 函数的极值与导数【例1】►(2011·

10、重庆)设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=-对称,且f′(1)=

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