2013年高考数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第2讲 导数的应用(一)教案 理 新人教版

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1、第2讲 导数的应用(一)【2013年高考会这样考】1.利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间.2.由函数单调性和导数的关系,求参数的范围.【复习指导】本讲复习时,应理顺导数与函数的关系,理解导数的意义,体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用,重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单调区间.基础梳理1.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线l的斜率,切线l的方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).2.导数的物理意义

2、若物体位移随时间变化的关系为s=f(t),则f′(t0)是物体运动在t=t0时刻的瞬时速度.3.函数的单调性在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a,b)上单调递增;f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a,b)上单调递减.易误警示直线与曲线有且只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线;反之直线是曲线的切线,但直线不一定与曲线有且只有一个公共点.两个条件(1)f′(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上单调递增的充分条件.(2

3、)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.三个步骤 求函数单调区间的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f′(x);(3)由f′(x)>0(f′(x)<0)解出相应的x的范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是减函数,还可以列表,写出函数的单调区间.双基自测1.(2011·山东)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(  ).A.-9B.-3C.9D.15

4、解析 由已知y′=3x2,则y′

5、x=1=3切线方程为y-12=3(x-1),即y=3x+9.答案 C2.(2012·烟台模拟)函数f(x)=x2-2lnx的递减区间是(  ).A.(0,1]B.[1,+∞)C.(-∞,-1),(0,1)D.[-1,0),(0,1]解析 函数的定义域为(0,+∞),又f′(x)=2x-=2由f′(x)≤0,解得0<x≤1.答案 A3.(2012·长沙一中月考)若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小值为(  ).A.1B.C.D.解析 由已知

6、y′=2x-,令2x-=1,解得x=1.曲线y=x2-lnx在x=1处的切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.两直线x-y=0,x-y-2=0之间的距离为d==.答案 B4.(人教A版教材习题改编)在高台跳水运动中,ts时运动员相对水面的高度(单位:m)是t1(t)=-4.9t2+6.5t+10,高台跳水运动员在t=1s时的瞬时速度为________.答案 -3.3m/s5.函数f(x)=x3-3x2+1的递增区间是________.解析 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),由f′(x)>0解得

7、x<0,或x>2.答案 (-∞,0),(2,+∞)  考向一 求曲线切线的方程【例1】►已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在x=2处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.[审题视点]由导数几何意义先求斜率,再求方程,注意点是否在曲线上,是否为切点.解 (1)f′(x)=3x2-8x+5f′(2)=1,又f(2)=-2∴曲线f(x)在x=2处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x-y-4=0.(2)设切点坐标为(x0,x-4x+5x0-4)f′(x0

8、)=3x-8x0+5则切线方程为y-(-2)=(3x-8x0+5)(x-2),又切线过(x0,x-4x+5x0-4)点,则x-4x+5x0-2=(3x-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2,或x0=1,因此经过A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0,或y+2=0.首先要分清是求曲线y=f(x)在某处的切线还是求过某点曲线的切线.(1)求曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程可先求f′(x0),利用点斜式写出所求切线方程;(2)求过某点的曲线的切线方

9、程要先设切点坐标,求出切点坐标后再写切线方程.【训练1】若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切,试求k的值.解 设y=kx与y=x3-3x2+2x相切于P(x0,y0)则y0=kx0,①y0=x-3x+2x0,②又y′=3x2-6x+2,∴k=y′

10、x=x0=3x-6x0+2,③由①②③得:(3x-6x0+2)x0=x-3x+2x0,即(2x0-3)x=0.∴x0=0或x0=,∴k=2或k=-.考向二 函数的单调性与导数【例2】►已

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