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1、导数及其应用一、相关概念1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’
2、。即f（x）==。①求函数的增量=f（x+）－f（x）；②求平均变化率=；③取极限，得导数f’(x)=。2．导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x
3、）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=（t）。如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。二．求导数的方法1几个常用函数的导数1．若，则________；2．若，则________；3．若，则________；4．若，则________。2基本初等函数的导数1．若，则________；2．若()，则________；10/103．若，则_______
4、_；4．若，则________;5．若，则________()；6．若，则________7．若，则________(且)；8．若，则__3.导数的四则运算＝＝＝，＝4.复合函数的导数设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导，且＝，即三，导数的应用1.函数的单调性⑴求函数的单调区间的一般步骤：①求出的导数；②求出方程的根；③（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.特别提醒：首先注意定义域,其次区间不能用“或”(U)连接.⑵已知函数的单调性，求参数取值范围求使函数（解析式中
5、含有参数）为增函数（或减函数）的参数的取值范围：①先求使（或）成立的参数的取值范围；②把参数取值范围的端点值代回函数解析式检验；③综合①，②得参数的取值范围.增函数恒成立；减函数恒成立.边界代入检验!2.函数的极值求函数极值的步骤：(最好通过列表法)①求导数；②解方程的根；③检查在方程的根左、右两侧的符号，判断极值.“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值.特别提醒：若x0点是y=f(x)的极值点，则f′(x0)=0,反之不一定成立；如函数f(x)=
6、x
7、在x=0时没有导数，但是，在x=0处，函数f(x)=
8、x
9、有极小值. 3.函
10、数最值⑴定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。10/10⑵求函数在[]上的最值的步骤：①求函数在（）内的极值；②将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。四，考点例1，变化率已知函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△,1+△）,则等于（）A．4B．C．D．例2导数的定义，已知某运动物体的位移y(米)与其运动时间t（秒）的函数关系为y=t³+t(1)求y=f(t),利用导数定义求f´(t)(2)求
11、物体在t=2秒时的瞬时速度。例3.导数的计数1.（1）（2）（3）(4)(5)2.设f(x)=则f′(1)=（）3.(2009宁夏银川)已知函数y=f(x)的图像在点（1.f(1)）处的切线方程是想x-2y+1=0,则f(1)+2f´(1)的值_______4.(2008山东)若函数f(x)=1/3·x³-f´(-1)·x²+x+5,则f´´(1)=_______10/10例4.几何意义1已知曲线，则过点的曲线的切线方程.2.函数的图像在点M处的切线方程是,=.3.(全国卷)设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则_____4.已知函数在处
12、的切线为，求函数的解析式．5.（2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为______例5单调性问题1.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是（）A.(0,B.(+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(,+∞）2.(2008全国Ⅰ卷文、理)已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．3.已知函数在点处有极小值-1,试确定,的值,并求出的单调区间例6.极值点和极值1.(2011安徽)设f(x)=eª/(1+ax²),其中a为正实数，当a=4/3时，求f(
13、x)的极值点和极值。10/102.设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；（2）当a≠0时
