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1、导数及其应用一、相关概念1.导数的概念函数y二f(x),如果自变量x在X。处冇增量Ax,那么函数y相应地冇增®Ay=f(x04Ar)-f(x0),比值乞叫做函数y二f(x)在x()到x()+心之间的平均变化率，即Ar型二心)+心)-/(兀)。如果当心tO时，型有极限，我们就说函数y=f(x)在点x°AxArAx处可导，并把这个极限叫做f(X)在点X。处的导数，记作f'(x0)或y'丨*%。即f(x°)=lim型"m/(“+心)一・心)。心TO心Av->0ZtV①求函数的增蜃Ay=f(x0+Ax)-f(x0)；②求平均变化率空二心)+心)一•心))；ArAr③取极限
2、，得导数f'(x())二1曲0。山toAx2.导数的几何意义函数y二f(x)在点x°处的导数的几何意义是曲线尸f(x)在点p(x0,f(x。))处的切线的斜率。也就是说，曲线y二f(x)在点p(x(),f(x()))处的切线的斜率是f'(x())o相应地，切线方程为y—y°二F(x0)(x—x°)。3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s(t),那么该物体在时刻t的瞬间速度v=$'(t)o如呆物体运动的速度随吋间的变化的规律是v=v(t),则该物体在时刻t的加速度a=vr(t)o二.求导数的方法1几个常用函数的导数1.若/⑴二c,则广⑴二;2.若f(x)=x，
3、则ff(x)=；3.若f(x)=x2f则ff(x)=:4.若f(x)=-f则/V)=。x2基本初等函数的导数1•若/(x)=c,则广(x)=；2.若/(x)=/*(neg*),则广(兀)=；3.若f(x)=sinx,则ff(x)=；4.若f(x)=cosx,则ff(x)=;5.若fM=ax，则ff(x)=(6/>0)；6.若f(x)=ex，则广(兀)二7.若/（%）=log；,则广⑴=（a>0且"1）；8・若/⑴=lnx,则广⑴=_3.导数的四则运算（“土v）f=［CfMY=（"）'=，（¥）'=（V工0）4.复合函数的导数设«=0（x）在点X处可导,y=/（w）
4、在点«=0{x）处可导，则复合函数f［0（x）］在点X处可导，且/'（X）—‘即y'x=冗三，專赦輪建用1・函数的单调性⑴求函数/（x）的单调区间的一般步骤：①求出/（X）的导数广（兀）；②求出方程广（兀）=0的根；③f（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；广（Q<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.特别提醒：首先注意定义域，其次区间不能用“或”（U）连接.⑵已知函数的单调性，求参数取值范围求使函数（解析式中含有参数）为增函数（或减函数）的参数的収值范围：①先求使/x）>0（或广（x）<0）成立的参数的取值范围；②把参数取值范用的端点值代回函数
5、解析式检验;③综合①，②得参数的取值范围.广（x）>0=>.f⑴增函数=>/V）>0恒成立；广（X）v0n/（x）减函数nfx）50恒成立.边界代入检验！1.函数的极值求函数y=/（兀）极值的步骤：（最好通过列表法）①求导数广（切；②解方程广（兀）=0的根勺；③检査广（兀）在方程ffM=0的根兀。左、右两侧的符号，判断极值•“左正右负”o于⑴在心处取极大值；“左负右正”o/■（•!）在兀处取极小值.特别提醒：若Xo点是yh（x）的极值点，则f（xo）=o,反Z不一定成立；如函数f（x）=
6、x
7、在x=0时没有导数，但是，和x=0处，函数f（x）=
8、x
9、有极小值.2
10、.函数最值⑴定义：函数/（兀）在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值屮的“最人值”；函数/（兀）在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。⑵求函数y=f（x）在［d,b］上的最值的步骤：①求函数y=/（x）在（a,b）内的极值；②将y=/（兀）的各极值与/⑺），/（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。四，考点例1,变化率已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+A.l+Zy)，则绥等Ax于()A.4B.4xC.4+2心D.4+2A%2例2导数的定义，已知某运动物体的位移y(
11、米)与其运动时间t(秒)的函数关系为y=3+t(1)求y二f⑴,利用导数定义求fz(t)(2)求物体在匸2秒吋的瞬吋速度。例3•导数的计数1.(1)y=x3+log2x(2)(3)sina:(4)/(x)=2xsin(2x+5)(5)/(x)=x71+x22•设心右-*则—)3.(2009宁夏银川)已知函数y=f(x)的图像在点(1.f(l))处的切线方程是想x-2y+l二0,则f(l)+2f‘⑴的值4.(2008山东)若两数f(x)=l/3-x3-fz(-l)-x2+x+5,则fzz(l)=例4•几何意义1已知曲线C:y=x2+xf则过点P(l,l)的曲线的切线
12、方程2.函
