导数及其运用

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1、第五章导数及其运用(1)平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。问题1.比较函数f(x)=2x与g(兀)=3",当xw[l,2]时,平均增长率的大小.点拨:解题规律技巧妙法总结：计算函数的平均增长率的基木步骤是⑴计算自变量的改变屋^x=x2-Xj(2)计算対应函数值的改变量心=/U2)-/(x2)⑶计算平均增长率：坐=/也)73)Axx2-Xj对于f(x)=2xf_22-2'2-1=3,又对于g(x)=3”,故当兀w[1,2]时，g(x)的平均增长率大于/(x)的平均增长率.(2)求复合函数的导数要坚

2、持“将求导进行到底”的原则，问题2.已知y=(1+cos2x)2,则yr=.点拨：复合两数求导数计算不熟练，其2兀与兀系数不一样也焰一个复合的过程,有的同学忽视T,导致错解为：yf=-2sin2x(1+cos2x).设y=w2,w=1+cos2x,则yrx=y'uu'x=2w(l+cos2兀)'=2m•(-sin2x)•(2x=2u-(-sin2%)-2=-4sin2x(1+cos2x):.yf=-4sin2x(14-cos2x).(3)求切线方程时已知点是否切点至关重要。问题3.求y=+3在点P(l,5)和

3、0(2,9)处的切线方程。点拨：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是在兀=1处的函数值；点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线.切忌直接将P,Q看作曲线上的点川导数求解。y=2x2+3,.yf=4x.yrx=l=4即过点P的切线的斜率为4,故切线为：〉，=4兀+1・设过点Q的切线的切点为八兀0，儿），贝U切线的斜率为4兀°，又J。二山二兀0-22Y2—6r故—=4x0,2x02—8%0+6=0./.Xq=1,3。勺-2即切线QT的斜率为4或12,从而过点Q的切线为：y

4、=4x-1,j=12x-15★热点考点题型探析★考点1：导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值［例1］设函数/（切在兀0处可导，则职/（山一心）一/（兀）等于A・广（兀°）B.-厂（兀（））C./（Xo）D.-/（Xo）【解题思路】由定义直接计算［解析］lim"。一山）一/（和=_Hm7U+（-Ax）］-/K）=_广（）.故选b心TOAx心TO（-Ax）【名师指引】求解木题的关键是变换出定义式1曲/（兀+山）一/（兀）=广（兀。）心->0心考点2.求曲线的切线方程［例2］（高明一屮2009届髙三上学期第四次月

5、考）如图，函数y=于（无）的图象在点"处的切线方程是），=一兀+8,则/（5）+广（5）二•【解题思路】区分过曲线P处的切线与过P点的切线的不同，后者的P点不一定在曲线上.解析:观察图形，设P(5J'(5)),过P点的切线方程为y-f(5)=f5)(x—5)Wy=f5)x+/(5)—5厂(5)它与y=-兀+8重合,比较系数知:厂(5)=-1,/(5)=3故/(5)+广(5)二2【名师指引】求切线方程吋要注意所给的点是否是切点.若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标.题型3•求计算连续函数y=

6、/（x）在点x=勺处的瞬时变化率[例3]—球沿一斜而从停止开始自山滚下，10s内其运动方程是s=s(f)=t2(KZ移单位：m,时间单位：s),求小球在仁5时的加速度.【解题思路】计算连续函数)y/(切在点x=x0处的瞬时变化率实际上就是y=fM在点解析：加速度完曲$(5+A/)—s(5)A/lim(5+A?)2-52&—》oA/=lim(10+41)=10m/s.Ar->0・••加速度v=2t=2X5=10m/s.【名师指引】计算连续函数y=fM在点x=x0处的瞬时变化率的基本步骤是1计算△)'二/(勺+心)

7、一土(观)ArAr2.计算lim型心->0心【新题导练】・1.曲线y=-和y二/在它们交点处的两条切线与兀轴所围成的三角形血积是.解析：曲线y=—和y=X2在它们的交点处标是(1,1),两条切线方稈分别是y=—x+2和y=2xx3—1,它们与尢轴所围成的三角形的面积是工.4点拨::与切线有关的问题,应有运川导数的意识，求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可.2.某质点的运动方程是S=r-(2/-1)?,则在t

8、soazAz3.已知曲线C：y=x2与C2：y=—(x—2)1直线/与Ci、C2都相切，求立线/的方程.解：设/与C]相切于点与C2相切于e(X2,-(X2-2)2)对于Cl：y=2t,则与C

9、相切于点P的切线方程为y—X]2=2xi(x—Xj),E卩y=2x]X—Xj2①对于C2：yf=—2(x—2),与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2—2)2=—2(x2—2)(x—x2),G