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1、第五章导数及其运用知识网络第1讲导数的概念及运算★知识梳理★1•用定义求函数的导数的步骤.(1)求函数的改变量Ay；(2)求平均变化率0.(3)取极限，得导数广(x0)=Hm型.AxAr->oAr2.导数的儿何意义和物理意义几何意义：曲线f(x)在某一点(xo，y。)处的导数是过点(xo，为)的切线的______________物理意义:若物体运动方程是"S(r),在点P(io,s(to))处导数的意义是口0处的解析：斜率.；瞬时速度.3.几种常见函数的导数c=0(c为常数)；(xn)r=(neR)；99(sinx)=____________；(cosx)=_
2、______；(InQ=丄；(log“x)r=丄log“e;xx(ex)=ex；(/)=ax]na.解析：cosx;-sinx;4•运算法则1求导数的四则运算法则：/、1••»H(M±V)=U±V；(wv)=__________________；—=______________(VH0).3丿9IS丄L''WV-UV解析：wV+UV；------;——V2复合函数的求导法则:人(0(x))=/(w)^(x)或)==y'u'Ux★重难点突破★1・重点：理解导数的概念与运算法则，熟练学握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法2•难点：切线方程的求法及复合函数求导3.
3、重难点：借助于计算公式先算平均增长率，再利用函数的性质解决有关的问题.(1)平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。问题1.比较函数f(x)=2X与g(兀)=3当xw[1,2]时,平均增长率的大小.点拨:解题规律技巧妙法总结：计算函数的平均增长率的基本步骤是(1)计算口变量的改变量Ar=x2-xj(2)计算对应函数值的改变量△『=/(x2)-/(x2)⑶计算平均增长率：0=/(吃)一/(州)Axx2-X
4、2-?'Av32-31对于/(x)=2^i=?=玄又对于g⑴廿警鳥=8故当XG[1,2]时，g(x)的平均增长率大于/(x)的平均增长率.(2)
5、求复合函数的导数要坚持“将求导迓行到底”的原则，问题2.已知y=(1+COS2J)2,则yr=_____________.点拨：复合函数求导数计算不熟练，其2x与尢系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了，导致错解为：=-2sin2x(1+cos2x).设y=u2,u=l+cos2x,则yrfx==2w(l+cos2兀)'=2u-(-sin2x)・(2x)=2u•(-sin2x)•2=-4sin2x(1+cos2x):.y'=-4sin2x(1+cos2x).(3)求切线方程时已知点是否切点至关重要。问题3.求y=2/+3在点P(l,5)和2(2,9)处的
6、切线方程。点拨：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是V在x=I处的函数值;点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线.切忌直接将P,Q看作曲线上的点用导数求解。•/y=2x2+3,.:yr=4x.yrx=i=4即过点P的切线的斜率为4,故切线为：y=4x+l.设过点Q的切线的切点为T(兀o，)S)，则切线的斜率为4必，乂kPQ勺-22兀2_6故—--------=4x0,/.2x20—8x0+6=0./.x(}=1,3。兀0-2即切线QF的斜率为4或12,从而过点Q的切线为：y=4x-l,y=2x-5★热点考点题型探析
7、★考点1:导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值［例1］设函数/（X）在兀（）处口J导，则职”（"一心）—心）筹于Ax-°A・广（兀°）B・-f*（x0）D・-/(x0)【解题思路】rh定义直接计算［解析］lim/（兀（厂心）一/（观）=_lim/%+（-心）17（心）=_广（无）.故选Bso0心so（一心）【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式lim/（x+2）-/（x）=厂（兀°）山TO心考点2.求曲线的切线方程［例2］（高明一中2009届高三上学期第四次月考）如图，函数y二/（无）的图象在点P处的切线方程是），=_兀+8,则/（5）+广（5）二___
8、___•【解题思路】区分过曲线尸处的切线与过P点的切线的不同，灰者的P点不一定在曲线上.解析:观察图形，设P（5,/（5））,过P点的切线方程为y一/（5）=厂（5）（兀-5）即y=f'（5）x+/（5）-5/⑸它与y=_兀+8重合,比较系数知:厂（5）=—1,/（5）=3故/⑸+八5）=2对以直接采用求导数的方法【名师指引】求切线方程时耍注意所给的点是否是切点.若是,求：不是则需设出切点坐标.题型3.求计算连续函数y=/U）在点x=兀（）处的瞬时变化率［例3］—球沿一斜而从停止开始自山滚下，10s内其运动方程是s二s⑴丸2（位移单位：加，时间单位：s）,求小
9、球在仁5时的加速度.【解题思路】计算连
