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1、第1讲导数的概念及运算★知识梳理★1.用定义求函数的导数的步骤.(1)求函数的改变量Ay；(2)求平均变化率生.(3)取极限，得导数f(Xo)=lim您.AxaxtoAr2.导数的儿何意义和物理意义儿何意义：1山线f(x)在某一点(Xo，处的导数是过点(Xo，yo)的切线的物理意义：若物体运动方程是s=s(t),在点P(i°,s(f0))处导数的意义是=o处的解析：斜率•；瞬吋速度.3.几种常见函数的导数c=0(c为常数)；(x,1Y=nx,t-重点：理解导数的概念与运算法则，熟练学握常见函数的计算和1111线的切线方程的求法难点：切线方程的求法及复合函数求导重难点：借助于计
2、算公式先算平均增长率，再利川函数的性质解决冇关的问题.(1)平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。问题1.比较函数f(x)=2"与g(x)=y，当xg[1,2]时,平均增长率的大小.点拨:解题规律技巧妙法总结：计算函数的平均增长率的基本步骤是⑴计算白变量的改变量心=勺7
3、(応(sinx)=；(cosx)=；(Inx)‘=丄；(log“x)f=-logae；XX(ex)=eA；(a')=a'Ina.解析：cosx;-sinx;4.运算法则①求导数的四则运算法则：I...(u)(W±V)=u±v；(wv)=；—=(V丰0)."丿解析：uv+uv;uv-UV②复合函数的
4、求导法则：fx(0(x))=f(u)(p⑴或)6=)7-Wx⑵计算对应函数值的改变量Ay二/也)-/(兀2)(3)计算平均增长率：型=/(勺)—/(州)Axx2-x.Ay2_32-3]空2-1对于/(x)=2",学=三二刍=3,又对于g(x)=3"Ax,2-1故当xe
5、l,21时，g⑴的平均增长率人于.f(x)的平均增长率.(1)求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则，问题2.己知y=(1+cos2x)2,则■/=.点拨：复合函数求导数计算不熟练，具2兀与兀系数不一样也是一个复合的过程,冇的同学忽视T,导致错解为:yf=-2sin2x(1+cos2x).设y=u2,u
6、=1+cos2兀,则y；=yruurx=2w(l+cos2x)r=2u•(-sin2x)・(2兀)'=2u•(-sin2x)•2=-4sin2x(1+cos2x)/.y'=-4sin2x(1+cos2x).(2)求切线方程时已知点是否切点至关重要。问题3.求y=2“+3在点P(l,5)和Q(2,9)处的切线方程。点拨：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是V在x=l处的函数值;心Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线.切忌直接将P,Q看作曲线上的点用导数求解。•/y=2x2+3,yr=4x.y'*i=4即过点P的切线的斜率为4,故切线为：
7、y=4x+l.vn—9设过点0的切线的切点为口勺』0)，则切线的斜率为4兀0,又kpo二—,勺―22兀_69故=4x(),/.2x02一8x0+6=0.x0=1,3。必_2即切线0T的斜率为4或12,从而过点Q的切线为:y=4x—l,y=12兀一15考点1:导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值［例1］设函数/（兀）在心处可导，则lim小）_心）_心））等于山AxA.广Cx（））B.-/'（xo）C./（xo）D.-/（Xo）【解题思路】由定义直接计算［解析］lim/（兀0-心）-/（兀o）=_lim门兀o+Hg=—广（兀）.故选B心toAxZ）（-Ax）0【名师指引】求解
8、本题的关键是变换出定义式lim/（"2）7（x）=f，（x°）心->0Ax考点2.求曲线的切线方程［例2］（高明一屮2009届高三上学期第四次月考）如图，函数y=/（兀）的图象在点户处的切线方程是y=—兀+8,则/（5）+广（5）二・【解题思路】区分过曲线P处的切线与过P点的切线的不同，后者的P点不一定在1111线上.可以直接采用求导数的方法解析:观察图形，设P(5J(5)),过P点的切线方程为y-f(5)=f*(5)(x-5)BPy=f5)x+/(5)-5/*(5)它与y=-x+8重合，比较系数知:/'(5)=-1,/(5)=3故.f(5)+广(5)=2【名师指引】求切线
9、方程时要注意所给的点是否是切点.若是,求；不是则需设出切点处标.题型3.求计算连续函数）yf（x）在点x=x0处的瞬时变化率［例3］—球沿-•斜面从停止开始占由滚下，10s内其运动方程是s二s⑴二*（位移单位：巾，时间单位：s）,求小球在仁5时的加速度.【解题思路】计算连续函数y=/（x）在点x=x0处的瞬吋变化率实际上就是y=fW在点&toaz解析：加速度v=lim5(5+Ar)~^(5)AT&=lim(10+41)=10m/s.△/tO•••加速度v=2t=2X5=10m/s.【名师指引】计算连续函
