2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6 2.6.3 曲线的交点学案 苏教版选修2-1

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1、2.6.3　曲线的交点学习目标：1.掌握求两条曲线的交点的方法，会判断直线与圆锥曲线公共点的个数．(重点)2.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系，掌握求弦长、弦中点的有关问题．(难点)3.直线与圆锥曲线公共点个数的讨论．(易错点)[自主预习·探新知]教材整理　两条曲线的交点与相交弦长阅读教材P65的部分，完成下列问题．1．两条曲线的交点对于曲线C1：f1(x，y)＝0和曲线C2：f2(x，y)＝0，(1)P0(x0，y0)是C1与C2的公共点⇔(2)求两条曲线的交点坐标，就是求方程组的实数解．2．弦长公式设直线l的方程为y

2、＝kx＋b，l与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长公式为AB＝

3、x1－x2

4、＝

5、y1－y2

6、.3．代点法设直线l与圆锥曲线C：f(x，y)＝0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则可将A，B两点坐标代入方程f(x，y)＝0，得两式作差，变形，即可得到弦AB的斜率与中点坐标的关系，这种研究问题的方法称为代点法，也称点差法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过椭圆上一点P的直线与该椭圆必有两个公共点．(　　)(2)过双曲线上一点，与双曲线只有一个公共点的直线只有一条．(　　)(3)与抛物线

7、只有一个公共点的直线必与抛物线相切．(　　)(4)当直线与圆锥曲线相交时，若交点坐标方便求出，也可用两点间距离公式求弦长．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．直线y＝mx＋1与椭圆x2＋4y2＝1有且只有一个交点，则m2＝________.[解析]　由得(1＋4m2)x2＋8mx＋3＝0.由题意得Δ＝64m2－12(1＋4m2)＝0，解得m2＝.[答案]　3．曲线x2＋2xy＋y2－2＝0与x轴的交点坐标为______．[解析]　在曲线方程中，令y＝0，得x2－2＝0，解得x＝±，则曲线与x轴的交点坐标为(

8、±，0)．[答案]　(±，0)4．直线y＝x＋1与曲线x2＝2y交于A，B两点，则AB＝________.【导学号：71392135】[解析]　由得x2－2x－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝－2，由弦长公式得AB＝＝·＝2.[答案]　2[合作探究·攻重难]曲线公共点的个数问题　已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：(1)l与C无公共点；(2)l与C有唯一公共点；(3)l与C有两个不同的公共点.【导学号：71392136】[精彩点拨]　直线与圆锥曲线公共点

9、的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k的取值．[自主解答]　将直线与双曲线方程联立消去y，得(1－4k2)x2－16kx－20＝0.①当1－4k2≠0时，有Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)·(－20)＝16(5－4k2)．(1)当1－4k2≠0且Δ<0，即k<－或k>时，l与C无公共点．(2)当1－4k2＝0，即k＝±时，显然方程①只有一解．当1－4k2≠0，Δ＝0，即k＝±时，方程①只有一解．故当k＝±或k＝±时，l与C有唯一公共点．(3)当1－4k2≠0，且Δ>0

10、时，即－0，即－1

11、k≠0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；③当Δ<0，即k<－1或k>时，直线l与抛物线相离，没有公共点．综上，当k＝－1或或0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当－1时，直线l与抛物线没有公共点．直线被圆锥曲线截得的弦长问题　已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．[精彩点拨]　先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查A，B坐标间的联系，进行整体运算．[自主解答]　∵直线l过椭圆＋＝1的右焦点

12、F1(1，0)，又直线的斜率为2.∴直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.法一：由方程组得交点A(0，－2)，B.则AB＝＝＝＝.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标为方程组的公共解．对方程组消去y，得3x2－5