高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6.3 曲线的交点学案 苏教版选修.doc

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1、2.6.3　曲线的交点1．掌握求两条曲线的交点的方法，会判断直线与圆锥曲线公共点的个数．(重点)2．领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系，掌握求弦长、弦中点的有关问题．(难点)3．直线与圆锥曲线公共点个数的讨论．(易错点)[基础·初探]教材整理　两条曲线的交点与相交弦长阅读教材P65的部分，完成下列问题．1．两条曲线的交点对于曲线C1：f1(x，y)＝0和曲线C2：f2(x，y)＝0，(1)P0(x0，y0)是C1与C2的公共点⇔(2)求两条曲线的交点，就是求方程组的实数解．2．弦长公式设直线l的方程

2、为y＝kx＋b，l与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长公式为AB＝

3、x1－x2

4、＝

5、y1－y2

6、.3．代点法设直线l与圆锥曲线C：f(x，y)＝0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则可将A，B两点坐标代入方程f(x，y)＝0，得两式作差，变形，即可得到弦AB的斜率与中点坐标的关系，这种研究问题的方法称为代点法，也称点差法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过椭圆上一点P的直线与该椭圆必有两个公共点．(　　)(2)过双曲线上一点，与双曲线只有一个公共点的直线只有

7、一条．(　　)(3)与抛物线只有一个公共点的直线必与抛物线相切．(　　)(4)当直线与圆锥曲线相交时，若交点坐标方便求出，也可用两点间距离公式求弦长．(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．直线y＝mx＋1与椭圆x2＋4y2＝1有且只有一个交点，则m2＝________.【解析】　由得(1＋4m2)x2＋8mx＋3＝0.由题意得Δ＝64m2－12(1＋4m2)＝0，解得m2＝.【答案】　3．曲线x2＋2xy＋y2－2＝0与x轴的交点坐标为______．【解析】　在曲线方程中，令y＝0，得

8、x2－2＝0，解得x＝±，则曲线与x轴的交点坐标为(±，0)．【答案】　(±，0)4．直线y＝x＋1与曲线x2＝2y交于A，B两点，则AB＝________.【导学号：】【解析】　由得x2－2x－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝－2，由弦长公式得AB＝＝·＝2.【答案】　2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]曲线公共点的个数问题　已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线

9、C：x2－4y2＝4，当k为何值时：(1)l与C无公共点；(2)l与C有唯一公共点；(3)l与C有两个不同的公共点．【精彩点拨】　直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k的取值．【自主解答】　将直线与双曲线方程联立消去y，得(1－4k2)x2－16kx－20＝0.①当1－4k2≠0时，有Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)·(－20)＝16(5－4k2)．(1)当1－4k2≠0且Δ<0，即k<－或k>时，l与C无公共点．(2)当1

10、－4k2＝0，即k＝±时，显然方程①只有一解．当1－4k2≠0，Δ＝0，即k＝±时，方程①只有一解．故当k＝±或k＝±时，l与C有唯一公共点．(3)当1－4k2≠0，且Δ>0时，即－

11、)当k≠0时，联立消去x，得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0，Δ＝16－4k×4(2k＋1)．①当Δ＝0，即k＝－1或时，直线l与抛物线相切，只有一个公共点；②当Δ>0，即－1时，直线l与抛物线相离，没有公共点．综上，当k＝－1或或0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当－1时，直线l与抛物线没有公共点.直线被圆锥曲线截得的弦长问题　已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右

12、焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．【精彩点拨】　先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查A，B坐标间的联系，进行整体运算．【自主解答】　∵直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1,0)，又直线的斜率为2.∴直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.法一：由方程组得交点A(0，－2)，B.则AB＝＝＝＝.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标为方程