苏教版高中数学选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（6.3　曲线的交点）word学案

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1、www.ks5u.com2．6.3　曲线的交点[学习目标]　1.掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.3.进一步体会数形结合的思想方法．[知识链接]1．直线与椭圆有几个交点？答：两个交点、一个交点和无交点．2．直线与双曲线和抛物线何时仅有一个交点？答：直线与双曲线和抛物线相切或直线与双曲线渐近线平行以及直线与抛物线对称轴平行时仅有一个交点．[预习导引]1．两曲线的交点个数与对应的方程组的实数解组数相同．2．设斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)、

2、P2(x2，y2)，则弦长P1P2＝

3、x1－x2

4、.要点一　直线与圆锥曲线的交点问题例1　k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？解　依题意得方程组①代入②整理得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0.∵Δ＝(12k)2－4×6(2＋3k2)＝24(3k2－2)，∴当3k2－2>0，即k>或k<－时，直线与曲线有两个公共点；当3k2－2＝0，即k＝±时，直线与曲线仅有一个公共点；当3k2－2<0，即－

5、与圆锥曲线的公共点问题，往往解由直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组并消去x(或y)后，得到一个形式上为一元二次的方程，这个方程是否为二次方程要看二次项的系数是否为零(有时需讨论)，是二次方程时还要判断“Δ”与“0”的大小关系．跟踪演练1　直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C分别相切、相交、相离？解　将直线l和抛物线C的方程联立　①式代入②式，并整理，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(1)当k≠0时，是一元二次方程，∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．当

6、Δ＝0，即k＝1时，l与C相切．当Δ>0，即k<1时，l与C相交．当Δ<0，即k>1时，l与C相离．(2)当k＝0时，直线l：y＝1与曲线C：y2＝4x相交．综上所述，当k<1时，l与C相交，当k＝1时，l与C相切，当k>1时，l与C相离．要点二　弦长问题例2　顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为，求抛物线方程．解　设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，由方程组消去y得：2x2－ax＋a＝0，∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8

7、.设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝(x1－x2)，弦长为AB＝＝＝＝.∵AB＝，∴＝，即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12.∴所求抛物线方程为x2＝－4y或x2＝12y.规律方法　求直线被双曲线截得的弦长，一般利用弦长公式AB＝

8、x1－x2

9、＝

10、y1－y2

11、及公式

12、x1－x2

13、＝较为简单．跟踪演练2　已知直线y＝2x＋b与曲线xy＝2相交于A、B两点，若AB＝5，求实数b的值．解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程组

14、消去y，整理得2x2＋bx－2＝0.①∵x1、x2是关于x的方程①的两根，∴x1＋x2＝－，x1x2＝－1.又AB＝，其中k＝2，代入则有AB＝·＝5，∴b2＝4，则b＝±2.故所求b的值为±2.要点三　与弦的中点有关的问题例3　抛物线y2＝8x上有一点P(2,4)，以点P为一个顶点，作抛物线的内接△PQR，使得△PQR的重心恰好是抛物线的焦点，求QR所在直线的方程．解　抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)．∵F为△PQR的重心，∴QR的中点为M(2，－2)，如图所示．设Q(x1，y1)、R(x

15、2，y2)，则有①－②，得y－y＝8(x1－x2)．又y1＋y2＝－4，∴直线QR的斜率为k＝＝＝＝－2.∴QR所在直线的方程为y＋2＝－2(x－2)，即2x＋y－2＝0.规律方法　本题设出Q、R的坐标，得出y＝8x1，y＝8x2，再作差的解法称为点差法，点差法是解决圆锥曲线的中点弦问题的有效方法，应熟练掌握它．跟踪演练3　直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，AB中点坐标为(3,2)，求直线l的方程．解　设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2，相减，得(y1－y2)(

16、y1＋y2)＝4(x1－x2)，又因为y1＋y2＝4，所以kAB＝＝1.所以直线l的方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.1．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．答案　－1解析　2a＝c＋c，e＝＝－1.2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P，且PF2⊥x轴，则此椭圆的离心率e为________．答案　解析　由题意得P