苏教版高中数学选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（2．6.1　曲线与方程）word学案

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1、www.ks5u.com2．6　曲线与方程2．6.1　曲线与方程[学习目标]　1.了解曲线与方程的对应关系.2.掌握证明已知曲线C的方程是f(x，y)＝0的方法和步骤．[知识链接]1．直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？答：相等．2．到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上，对吗？答：不对．3．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答：y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0；即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐

2、标的点到两坐标轴距离相等．[预习导引]1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．点与曲线如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.要点一　曲线与方程的概念例1　证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.证明　①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与

3、x轴的距离为

4、y0

5、，与y轴的距离为

6、x0

7、，所以

8、x0

9、·

10、y0

11、＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即

12、x1

13、·

14、y1

15、＝k.而

16、x1

17、，

18、y1

19、正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．规律方法　解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观

20、地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．跟踪演练1　判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝；(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为

21、x

22、＝2.解　(1)不正确．设(x0，y0)是方程y＝的解，则y0＝，即x＋y＝r2.两边开平方取算术平方根，得＝r即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点(，－r)在圆上，却不是y＝的解，这就不满足曲线上的点的坐标

23、都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y＝，而应是y＝±.(2)不正确．直线l上的点的坐标都是方程

24、x

25、＝2的解．然而，坐标满足

26、x

27、＝2的点不一定在直线l上，因此

28、x

29、＝2不是直线l的方程，直线l的方程为x＝2.要点二　由方程判断曲线例2　下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正．(1)－＝0；(2)x2－y2＝0；(3)

30、x

31、－y＝0.解　(1)中，曲线上的点不全是方程－＝0的解，如点(－1，－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；(2)中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但以方程x2－y2＝0的解

32、为坐标的点不全在曲线上，如点(2，－2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；(3)中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：规律方法　判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．跟踪演练2　求方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线．解　依题意可得或x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.综上可知，原方程所表示的曲线是射线x＋y－1

33、＝0(x≥1)和直线x＝1.要点三　曲线与方程关系的应用例3　若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．解　∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋k＝0.∴k＝－2a2－2a＝－2(a＋)2＋.∴k≤，∴k的取值范围是(－∞，]．规律方法　(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．跟踪演练3　已知方程x2＋

34、(y－1)2＝10.(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此