2018-2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6.2 求曲线的方程 2.6.3 曲线的交点学案 苏教版选修2-1

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1、2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点学习目标　1.了解求曲线方程的步骤，会求简单曲线的方程.2.掌握求两条曲线交点的方法.3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系．知识点一　坐标法的思想思考1　怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案　只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题．思考2　依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？答案　不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准．梳理　(1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性

2、质的方法．(2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程．②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质．知识点二　求曲线的方程的步骤1．建系：建立适当的坐标系．2．设点：设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)．3．列式：列出符合条件p(M)的方程f(x，y)＝0.4．化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式．5．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．知识点三　曲线的交点已知曲线C1：f1(x，y)＝0和C2：f2(x，y)＝0.(1)P0(x0，y0)是C

3、1和C2的公共点⇔(2)求两曲线的交点，就是求方程组的实数解．(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．1．x2＋y2＝1(x＞0)表示的曲线是单位圆．(×)2．若点M(x，y)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，则点M在曲线f(x，y)＝0上．(√)3．方程y＝x与方程y＝表示同一曲线．(×)4．曲线xy＝2与直线y＝x的交点是(，)．(×)类型一　直接法求曲线的方程例1　一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程

4、．解　设P(x，y)，则

5、8－x

6、＝2PA.则

7、8－x

8、＝2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.引申探究若本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程．解　设P(x，y)，则P到直线y＝8的距离d＝

9、y－8

10、，又PA＝，故

11、y－8

12、＝2，化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.反思与感悟　直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件．(2)方法

13、：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列式；对所求的方程化简、证明．特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练1　已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列．求点P的轨迹方程．解　设点P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)，得＝－＝(－1－x，－y)，＝－＝(1－x，－y)，＝－＝(2,0)．∴·＝2(x＋1)，·＝x2＋y2－1，·＝2(1－x)．于是，·，·，·成公差小于

14、零的等差数列等价于即∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x>0)．类型二　相关点法求解曲线的方程例2　动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．解　设P(x，y)，M(x0，y0)，因为P为MB的中点，所以即又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1.所以P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.反思与感悟　相关点法求解轨迹方程的步骤(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)．(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系(3)代入相关动点

15、的轨迹方程．(4)化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练2　已知△ABC的两顶点A，B的坐标分别为A(0，0)，B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．解　设G(x，y)为△ABC的重心，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得所以因为顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，所以3y＝(3x－6)2＋3，整理，得y＝3(x－2)2＋1.故ΔABC重心的轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.类型三　根据曲线的方程求两曲线的交点例3　过点M(1,2)的直线与曲线y＝(a≠

16、0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围．解　当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点．设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，联立曲线方程，得消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点．∴Δ＝(2－k)2＋4ka>0.设方程①的两根分别为y1，y2，由根与系数的关系，得y1＋y2＝2－k.又∵y1＋