2018版高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6.2 求曲线的方程学案 苏教版选修2-1

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1、2．6.2　求曲线的方程[学习目标]　1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．知识点一　坐标法和解析几何借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法就叫坐标法．用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何．知识点二　解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．知识点三　求曲线的方

2、程的一般步骤(1)建立适当的坐标系；(2)设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)；(3)列出符合条件P(M)的方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．思考　(1)求曲线的方程的步骤是否可以省略？(2)求曲线的方程和求轨迹一样吗？答案　(1)可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程．(2)不一样．若是求轨迹则要先求出方程，再说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、

3、大小都需说明、讨论清楚．题型一　直接法求曲线方程例1　动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于－，求动点M的轨迹方程．解　如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)．设M(x，y)为轨迹上任意一点，则kMA＝，kMB＝(x≠±a)．∵kMA·kMB＝－，∴·＝－，化简得：x2＋2y2＝a2(x≠±a)．∴点M的轨迹方程为x2＋2y2＝a2(x≠±a)．反思与感悟　直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M

4、p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，

5、y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．跟踪训练1　已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点A(－1,0)，点B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程．解　如图，设C(x，y)，则＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)．∵∠C为直角，∴⊥，即·＝0.∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0.化简得x2＋y2＝1.∵A、B、C三点要构成三角形，∴A、B、C三点不共线，∴y≠0.∴点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．题型二　定义法求曲线方程例2　已知圆C：(

6、x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．解　如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ，设M为OC的中点，则M的坐标为(，0)．∵∠OPC＝90°，∴动点P在以点M(，0)为圆心，OC为直径的圆上，由圆的方程得(x－)2＋y2＝(0

7、图所示，根据直角三角形的性质可知OM＝AB＝3.所以M的轨迹是以原点O为圆心，以3为半径的圆，故点M的轨迹方程为x2＋y2＝9.题型三　代入法求曲线方程例3　已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，点M和定点B(3，0)连线的中点为P，求点P的轨迹方程．解　设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点，∴　即又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.反思与感悟　代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x，y)与相关动点Q(x0，y0)坐标间的关系式，且Q(x0，y0)又在某已知曲线上

8、，则可用所求动点P的坐标(x，y)表示相关动点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0代入已知曲线方程即可求得动点P的轨迹方程．跟踪训练3　已知△ABC的两顶点A，B的坐标分别为A(0，0)，B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．解　设G(x，y)为△ABC的重心，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得所以因为顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，所以3y＝(3x－6)2＋3，整理，得y＝3(x－2)2＋1.故点M的轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.求曲线方程忽略限制条

9、件致错例4　直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程