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时间:2019-11-16
《2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6 2.6.2 求曲线的方程学案 苏教版选修2-1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.6.2 求曲线的方程学习目标:1.了解求曲线方程的步骤,会求一些简单曲线的方程.(重点)2.掌握求动点轨迹方程的常用方法.(难点)3.对动点轨迹方程的限制与检验.(易错点)[自主预习·探新知]教材整理 求曲线的方程阅读教材P63例1以上的部分,完成下列问题.1.求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤为五步.用流程图表示如下:↓↓↓↓求曲线方程的流程图可以简记为:→→→→2.求曲线方程的常用方法求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法.1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在求曲线方程时,对于同一条曲线,坐标系的建立不同,所得到的曲线
2、方程也不一样.( )(2)化简方程“
3、x
4、=
5、y
6、”为“y=x”是恒等变形.( )(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.( )(4)在求曲线方程时,如果点有了坐标或曲线有了方程,则说明已经建立了平面直角坐标系.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2.在平面直角坐标系内,到原点距离为2的点M的轨迹方程是________.[解析] 由圆的定义知,点M的轨迹是以(0,0)为圆心,以2为半径的圆,则其方程为x2+y2=4.[答案] x2+y2=43.设P为曲线+y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则动点M的轨迹方程是__
7、______.[解析] 设M(x,y),P(x0,y0),则x0=2x,y0=2y,∵+y=1,∴x2+4y2=1.[答案] x2+4y2=14.到A(-3,0),B(5,-1)的距离相等的点的轨迹方程是________.【导学号:71392127】[解析] 设P(x,y),PA=PB,即=,即(x+3)2+y2=(x-5)2+(y+1)2,化简得16x-2y-17=0.[答案] 16x-2y-17=0[合作探究·攻重难]直接法求轨迹方程 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a>c>b,且a,c,b成等差数列,AB=2,求顶点C的轨迹方程.[精彩点拨]
8、 由a,c,b成等差数列可得a+b=2c;由a>c>b可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分;由AB=2可建立适当的坐标系.于是可按求曲线方程的一般步骤求解.[自主解答] 以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设C点坐标为(x,y),由已知得AC+BC=2AB.即+=4,整理化简得3x2+4y2-12=0,即+=1.又∵a>c>b,∴x<0且x≠-2.所以顶点C的轨迹方程为+=1(x<0且x≠-2).[名师指津] 直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键①建立恰当的平面直角坐标系;②找出所求动点满足的几何条件.
9、(2)方法求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤,在实际求解时可简化为三大步骤:①建系、设点;②根据动点满足的几何条件列方程;③对所求的方程化简、说明.[再练一题]1.若将本例已知条件“a>c>b且a,c,b成等差数列”改为“△ABC的周长为6且AB=2”,求顶点C的轨迹方程.【导学号:71392128】[解] 以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y),由已知得AC+BC+AB=6.即+=4.化简整理得3x2+4y2-12=0,即+=1.∵A,B,C三点不能共线,∴x≠±2.综上,点C的轨
10、迹方程为+=1(x≠±2).定义法求曲线方程 已知圆A:(x+2)2+y2=1与定直线l:x=1,且动圆P和圆A外切并与直线l相切,求动圆的圆心P的轨迹方程.[精彩点拨] 利用平面几何的知识,分析点P满足的条件为抛物线,可用定义法求解.[自主解答] 如图,作PK垂直于直线x=1,垂足为K,PQ垂直于直线x=2,垂足为Q,则KQ=1,所以PQ=r+1,又AP=r+1,所以AP=PQ,故点P到圆心A(-2,0)的距离和到定直线x=2的距离相等,所以点P的轨迹为抛物线,A(-2,0)为焦点,直线x=2为准线.设抛物线方程为y2=-2px(p>0)则=2,∴p=4,∴点P的轨
11、迹方程为y2=-8x.[名师指津] 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义,可以设出其标准方程,然后用待定系数法求解,这种求轨迹的方法称为定义法,利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征.[再练一题]2.点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1∶2,求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.[解] 设d是点P到直线x=8的距离,根据题意,得=.由圆锥曲线的统一定义可知,点P的轨迹是以F(2,0)为焦点,x=8为准线的椭圆,设椭圆的方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,则解得∴b2=a2-c2=16-4=12.故点P的轨迹方程
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