2018版高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.3曲线的交点学案苏教版选修2

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1、2.6.3　曲线的交点[学习目标]　1.掌握直线与曲线的交点的求解方程.2.会求曲线与曲线的交点问题.3.会解决有关曲线的交点的实际应用．知识点一　直线与曲线的交点求解直线与曲线的交点问题时通常将直线方程与曲线方程联立起来后得到一个二次方程．利用二次方程的判别式确定交点的个数．Δ>0⇔两个交点Δ＝0⇔一个交点Δ<0⇔无交点知识点二　曲线与曲线的交点(1)判断曲线与曲线的交点个数，通常将两曲线方程联立起来解方程组得交点坐标．(2)可以将两条曲线画在同一坐标系内确定两曲线的交点个数．思考　1．直线与椭圆有几个交点？

2、答案　两个交点、一个交点和无交点．2．直线与双曲线和抛物线何时仅有一个交点？答案　直线与双曲线和抛物线相切或直线与双曲线渐近线平行以及直线与抛物线对称轴平行时仅有一个交点．题型一　直线与曲线的交点问题例1　k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？解　依题意得方程组①代入②整理得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0.∵Δ＝(12k)2－4×6(2＋3k2)＝24(3k2－2)，∴当3k2－2>0，即k>或k<－时，直线与曲线有两个公共点；当3k2－2＝0，即k＝

3、±时，直线与曲线仅有一个公共点；当3k2－2<0，即－

4、0.(1)当k≠0时，是一元二次方程，∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．当Δ＝0，即k＝1时，l与C相切．当Δ>0，即k<1时，l与C相交．当Δ<0，即k>1时，l与C相离．(2)当k＝0时，直线l：y＝1与曲线C：y2＝4x相交．综上所述，当k<1时，l与C相交，当k＝1时，l与C相切，当k>1时，l与C相离．题型二　弦长问题例2　顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为，求抛物线方程．解　设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，由方程组消去y得：2x2－ax＋a＝0，∵直线

5、与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8.设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝(x1－x2)，弦长为AB＝＝＝＝.∵AB＝，∴＝，即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12.∴所求抛物线方程为x2＝－4y或x2＝12y.反思与感悟　求直线被双曲线截得的弦长，一般利用弦长公式AB＝

6、x1－x2

7、＝

8、y1－y2

9、及公式

10、x1－x2

11、＝较为简单．跟踪训练2　已知直线y＝2x＋b与曲线xy＝2相交于A、B两点，若AB＝5，求实数b的

12、值．解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程组消去y，整理得2x2＋bx－2＝0.①∵x1、x2是关于x的方程①的两根，∴x1＋x2＝－，x1x2＝－1.又AB＝，其中k＝2，代入则有AB＝·＝5，∴b2＝4，则b＝±2.故所求b的值为±2.题型三　与弦的中点有关的问题例3　抛物线y2＝8x上有一点P(2,4)，以点P为一个顶点，作抛物线的内接△PQR，使得△PQR的重心恰好是抛物线的焦点，求QR所在的直线的方程．解　抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)．∵F为△PQR的重心，∴QR的中点为M(2，－

13、2)，如图所示．设Q(x1，y1)、R(x2，y2)，则有①－②，得y－y＝8(x1－x2)．又y1＋y2＝－4，∴直线QR的斜率为k＝＝＝＝－2.∴QR所在直线的方程为y＋2＝－2(x－2)，即2x＋y－2＝0.反思与感悟　本题设出Q、R的坐标，得出y＝8x1，y＝8x2，再作差的解法称为点差法，点差法是解决圆锥曲线的中点弦问题的有效方法，应熟练掌握它．跟踪训练3　直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，AB中点坐标为(3,2)，求直线l的方程．解　设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x

14、2，相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，又因为y1＋y2＝4，所以kAB＝＝1.所以直线l的方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.1．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．答案　－1解析　2a＝c＋c，e＝＝－1.2．已知两条直线2x－y＋m＝0与x－y－1＝