（浙江专版）2018-2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程学案 新人教A版选修2-1

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1、2.2.1　椭圆及其标准方程学习目标　1.理解椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程．知识点一　椭圆的定义思考　给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案　在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．梳理　(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M

4、

5、MF1

6、＋

7、MF2

8、＝2a,2a>

9、F1F2

10、}．(3)2a与

11、

12、F1F2

13、的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a>

14、F1F2

15、动点的轨迹是椭圆2a＝

16、F1F2

17、动点的轨迹是线段F1F22a<

18、F1F2

19、动点不存在，因此轨迹不存在知识点二　椭圆的标准方程思考　在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？答案　不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．梳理　(1)椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上＋＝1(a>b>0)F1(－c,0)，F2(c,0)2c焦点在y轴上＋＝1(a>b>0)F1(0，－c)，F2(0，c)2c(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程＋＝1(

20、a>b>0)＋＝1(a>b>0)焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2＝a2－c2(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0,1)，焦距

21、F1F2

22、＝2.(1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(×)(2)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹

23、是椭圆．(×)(3)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(√)(4)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(×)类型一　椭圆定义的应用例1　点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．考点　椭圆的定义题点　椭圆定义的应用解　方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以

24、MC

25、＋

26、MP

27、＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M

28、到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝

29、CP

30、，所以动点M的轨迹是椭圆．引申探究若将本例中圆C的方程改为：x2＋y2－6x＝0且点P(－3,0)为其外一定点，动圆M与已知圆C相外切且过P点，求动圆圆心M的轨迹方程．解　设M(x，y)，由题意可知，圆C：(x－3)2＋y2＝9，圆心C(3,0)，半径r＝3.由

31、MC

32、＝

33、MP

34、＋r，故

35、MC

36、－

37、MP

38、＝r＝3，即－＝3，整理得－＝1(x<0)．反思与感悟　椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数2a必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的

39、限制条件．跟踪训练1　(1)下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足

40、PF1

41、＋

42、PF2

43、＝的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足

44、PF1

45、＋

46、PF2

47、＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．考点　椭圆的定义题点　椭圆定义的应用答案　②解析　①<2，故点P的轨迹不存在；②因为2a＝

48、F1F2

49、＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)

50、．(2)已知一动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程．考点　椭圆的定义题点　椭圆定义的应用解　由题意可知C1(－3,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝9，设M(x，y)，半径为R，则

51、MC1

52、＝1＋R，

53、MC2

54、＝9－R，故

55、MC1

56、＋

57、MC2

58、＝10，由椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2＝16.故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.类型二　椭圆的标准方程例2　求中